【第4回垂れ流し数学模試】理型第6問・文型第5問解説

皆さんこんにちは!
TomoKです。

今回は 第4回垂れ流し数学模試 の 理型第6問・文型第5問 を解説しようと思います。

理型　第6問 / 文型　第5問

$n$を自然数とする.

赤玉2個と白玉$n$個のみが入った箱があり, この箱から1個の玉を無作為に取り出す操作を繰り返す.

ただし各操作ごとに, 取り出した玉が白玉であればそれを箱の中に戻し,
赤玉であればそれを箱の中に戻すことなく次の回の操作に移る.
箱から赤玉を2個とも取り出した時点で, 操作の繰り返しを終了する.

$k$を2以上の整数とするとき, ちょうど$k$回だけ操作を繰り返して終了する確率を,
$n$および$k$を用いて表せ.

【第4回垂れ流し数学模試】理型第5問解説

皆さんこんにちは!
TomoKです。

今回は 第4回垂れ流し数学模試 の 理型第5問 を解説しようと思います。

理型　第5問

問題

$-\dfrac{\pi}{2}\lt x\lt \dfrac{\pi}{2}$を定義域とするときの関数$f(x)=\tan{x}$について, その逆関数を$g(x)$で表す.

1. $a$が正の数のとき, 等式$g(a)+g\left(\dfrac{1}{a}\right)=\dfrac{\pi}{2}$が成り立つことを示せ.
2. 定積分$\dint_{-1}^{1}xg(x)g\left(x+\sqrt{1+x^2}\right) dx$を求めよ.

【第4回垂れ流し数学模試】理型第4問・文型第4問解説

皆さんこんにちは!
TomoKです。

今回は 第4回垂れ流し数学模試 の 理型第4問 / 文型第4問 を解説しようと思います。

理型　第4問 / 文型　第4問

問題

係数がすべて実数である$x$の整式$A(x)$に対して,
$A(x)$を整式$x^3+6x+7$でわった余りを$[A(x)]$と表すとする.

以下の問いにおいて, 次の事実を証明なしに用いてもよいとする.

係数がすべて実数である2つの$x$の整式$A(x)$, $B(x)$に対し,

$\bullet [A(x)+B(x)]=[A(x)]+[B(x)]$$\bullet [A(x)B(x)]=[[A(x)][B(x)]]$

1. 係数がすべて実数である$x$の整式$P(x)$で, $[xP(x)]=1$を満たすものを１つ求めよ.
2. 係数がすべて実数である2つの$x$の整式$Q(x)$, $R(x)$があり,
   $Q(x)$は1次式もしくは2次式であるとする. \[\left[\{Q(x)\}^2-3xR(x)\right]=\left[\{R(x)\}^2-3xQ(x)\right]=0\] を満たすとき, $Q(x)$としてありうるものをすべて求めよ.

【第4回垂れ流し数学模試】理系第3問解説

皆さんこんにちは!
TomoKです。

今回は 第4回垂れ流し数学模試 の 理型第3問 を解説しようと思います。

理型　第3問

問題

${\rm AB}\gt{\rm AC}$である$\triangle{\rm ABC}$があり, $\angle {\rm A}=\dfrac{\pi}{3}$で,
$\triangle$ABCの外接円と内接円それぞれの半径の比が$7:2$であるとき,
この三角形の3辺の長さの比$\rm AB:BC:CA$を求めよ.

【第4回垂れ流し数学模試】理型第2問・文型第3問解説

皆さんこんにちは!
TomoKです。

今回は 第4回垂れ流し数学模試 の 理型第2問・文系第3問 を解説しようと思います。

理型　第2問 / 文型　第3問

問題

次の問いに答えよ.

1. 次の条件を満たす自然数$a$, $b$, $c$, $d$の組で, $d$が最小となるものを求めよ.

   条件 :	すべての実数$x$, $y$に対して, 常に$2(ax+by)^2-(cx+dy)^2=2x^2-y^2$が成り立つ.

2. $n$を自然数とするとき, $n\sqrt{2}$の小数第1位が$0$となるような$n$は無数に存在することを証明せよ.

【第4回垂れ流し数学模試】文型第2問解説

皆さんこんにちは!
TomoKです。

今回は 第4回垂れ流し数学模試 の 文型第2問 を解説します。

文型　第2問

問題

下図は$xy$平面上で, 曲線$C_1$は放物線$y=x^2$であり,
$C_2$, $C_3$はそれぞれ$C_1$を点A(0, 4)を中心に反時計回りに$120^{\circ}$, $240^{\circ}$だけ回転させたものである.

このとき, 図の斜線部分の面積を求めよ.

【第4回垂れ流し数学模試】文型第1問解説

皆さんこんにちは!
TomoKです。

今回は 第4回垂れ流し数学模試 の 文型第1問(1)(2) を解説しようと思います。

文型　第1問(1)

問題

自然数を1から順に, 10進数による最上位から順に書き並べてできる数列 \[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 1, 0, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 4, \cdots\] について, 初項から第2022項までの総和はいくらか.

【第4回垂れ流し数学模試】理型第1問解説

皆さんこんにちは!
TomoKです。

今回は 第4回垂れ流し数学模試 の 理型第1問 を解説しようと思います。

理型　第1問

問題

${\rm BC}=1$である$\triangle$ABCがあり, その辺BCを$1:2$に内分する点を${\rm Q}_{0}$とする.
以下, 自然数$n$に対して, 次の要領で4点${\rm B}_{n}$, ${\rm P}_{n}$, ${\rm C}_{n}$, ${\rm Q}_{n}$を帰納的にとる.

• 任意の自然数$i$に対し, ${\rm Q}_{i-1}$を通りACに平行な直線と辺ABとの交点を${\rm B}_{i}$とし,
  ${\rm B}_i$を通り${\rm AQ}_{0}$に平行な直線と辺BCとの交点を${\rm P}_i$,
  ${\rm P}_i$を通りABに平行な直線と辺ACとの交点を${\rm C}_i$,
  ${\rm C}_i$を通り${\rm AQ}_{0}$に平行な直線と辺BCとの交点を${\rm Q}_i$とする.

各自然数$n$に対する線分${\rm P}_{n}{\rm Q}_{n}$の長さを$l_n$とおくとき, $\dlim_{n\to \infty}{l_n}$を求めよ.

【第4回垂れ流し数学模試】ご協力ありがとうございました!

皆さんこんにちは!
TomoKです。

少し遅くなりましたが、あけましておめでとうございます。

去年の最後の投稿から約1年ということで、
ブログ自体ももはや「垂れ流し数学模試」の解答公開のためだけに開設しているような感じになっていますが、、、

そんなわけで、今回も多分にもれず、
1月10日(月)まで開催した　第4回垂れ流し数学模試　の解説記事
を書いていこうと思います。

まずは、今回企画に参加してくださった方、
twitterでRTやリプをしてくれた方々、ご覧いただいた方に感謝申し上げます。
本当にありがとうございました!

今回も、全問解答、一部問題解答含め何人かの方から解答送付がありましたが、
人数としては過去最多人数になりました!!　感謝です!!

今年は文理別、FormOKベースの解答フォーム送付という2点で過去3回とは異なる体制にしました。

(ただし解答フォームの一部に不手際があり、フォームから応募いただいた方、応募を検討いただいた方にはご迷惑をおかけする形になってしまったことは
この場を借りてお詫びしたいと思います。。。)

特に今年文理別でやってみて、文型問題を送っていただいた方も複数名いらっしゃったのはよかったと思います。

・文系なので文型の問題を解いたという方
・将来理系で受験を考えているけれど、まだ数学Ⅲの勉強が終わっていないという方

の2パターンが考えられますが(もちろん直接応募者の方に聞いたわけではないですが…)

いずれの場合にしても、またそのどちらもでないにしても、
数学に興味を持っていただいたということでは非常にうれしい限りだと思います。

なお、解答期間が終了したので、今回の問題は今後、
DMだけでなくリプ解答可能となり、通常問題同様にして答案受付します。
「こんな答案ではどうか?」というものがあればぜひ送ってください。
(と言っていて、実は第3回の出題問題はまだ通常問題化が済んでいないという…)

ということで、次の日程で解説を公開していきたいと思います。

1. 理型第1問解説 … 2月1日 21:00
2. 文型第1問解説 … 2月2日 21:00
3. 文型第2問解説 … 2月3日 21:00
4. 理型第2問・文型第3問解説 … 2月4日 21:00
5. 理型第3問解説 … 2月5日 21:00
6. 理型第4問・文型第4問解説 … 2月6日 21:00
7. 理型第5問解説 … 2月7日 21:00
8. 理型第6問・文型第5問解説 … 2月8日 21:00

解いた方、解答・解説が気になる方は公開を楽しみにしていてください!

それでは、今日の記事はここまでです。 最後までお読みいただき、ありがとうございました。 ではまた!