【第4回垂れ流し数学模試】理型第6問・文型第5問解説

皆さんこんにちは!
TomoKです。

今回は 第4回垂れ流し数学模試 の 理型第6問・文型第5問 を解説しようと思います。

理型　第6問 / 文型　第5問

$n$を自然数とする.

赤玉2個と白玉$n$個のみが入った箱があり, この箱から1個の玉を無作為に取り出す操作を繰り返す.

ただし各操作ごとに, 取り出した玉が白玉であればそれを箱の中に戻し,
赤玉であればそれを箱の中に戻すことなく次の回の操作に移る.
箱から赤玉を2個とも取り出した時点で, 操作の繰り返しを終了する.

$k$を2以上の整数とするとき, ちょうど$k$回だけ操作を繰り返して終了する確率を,
$n$および$k$を用いて表せ.

【第4回垂れ流し数学模試】理型第5問解説

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今回は 第4回垂れ流し数学模試 の 理型第5問 を解説しようと思います。

理型　第5問

問題

$-\dfrac{\pi}{2}\lt x\lt \dfrac{\pi}{2}$を定義域とするときの関数$f(x)=\tan{x}$について, その逆関数を$g(x)$で表す.

1. $a$が正の数のとき, 等式$g(a)+g\left(\dfrac{1}{a}\right)=\dfrac{\pi}{2}$が成り立つことを示せ.
2. 定積分$\dint_{-1}^{1}xg(x)g\left(x+\sqrt{1+x^2}\right) dx$を求めよ.

【第4回垂れ流し数学模試】理型第4問・文型第4問解説

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今回は 第4回垂れ流し数学模試 の 理型第4問 / 文型第4問 を解説しようと思います。

理型　第4問 / 文型　第4問

問題

係数がすべて実数である$x$の整式$A(x)$に対して,
$A(x)$を整式$x^3+6x+7$でわった余りを$[A(x)]$と表すとする.

以下の問いにおいて, 次の事実を証明なしに用いてもよいとする.

係数がすべて実数である2つの$x$の整式$A(x)$, $B(x)$に対し,

$\bullet [A(x)+B(x)]=[A(x)]+[B(x)]$$\bullet [A(x)B(x)]=[[A(x)][B(x)]]$

1. 係数がすべて実数である$x$の整式$P(x)$で, $[xP(x)]=1$を満たすものを１つ求めよ.
2. 係数がすべて実数である2つの$x$の整式$Q(x)$, $R(x)$があり,
   $Q(x)$は1次式もしくは2次式であるとする. $$\left[\{Q(x)\}^2-3xR(x)\right]=\left[\{R(x)\}^2-3xQ(x)\right]=0$$ を満たすとき, $Q(x)$としてありうるものをすべて求めよ.

【第4回垂れ流し数学模試】理系第3問解説

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今回は 第4回垂れ流し数学模試 の 理型第3問 を解説しようと思います。

理型　第3問

問題

${\rm AB}\gt{\rm AC}$である$\triangle{\rm ABC}$があり, $\angle {\rm A}=\dfrac{\pi}{3}$で,
$\triangle$ABCの外接円と内接円それぞれの半径の比が$7:2$であるとき,
この三角形の3辺の長さの比$\rm AB:BC:CA$を求めよ.

【第4回垂れ流し数学模試】理型第2問・文型第3問解説

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今回は 第4回垂れ流し数学模試 の 理型第2問・文系第3問 を解説しようと思います。

理型　第2問 / 文型　第3問

問題

次の問いに答えよ.

1. 次の条件を満たす自然数$a$, $b$, $c$, $d$の組で, $d$が最小となるものを求めよ.

   条件 :	すべての実数$x$, $y$に対して, 常に$2(ax+by)^2-(cx+dy)^2=2x^2-y^2$が成り立つ.

2. $n$を自然数とするとき, $n\sqrt{2}$の小数第1位が$0$となるような$n$は無数に存在することを証明せよ.

【第4回垂れ流し数学模試】文型第2問解説

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今回は 第4回垂れ流し数学模試 の 文型第2問 を解説します。

文型　第2問

問題

下図は$xy$平面上で, 曲線$C_1$は放物線$y=x^2$であり,
$C_2$, $C_3$はそれぞれ$C_1$を点A(0, 4)を中心に反時計回りに$120^{\circ}$, $240^{\circ}$だけ回転させたものである.

このとき, 図の斜線部分の面積を求めよ.

【第4回垂れ流し数学模試】文型第1問解説

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今回は 第4回垂れ流し数学模試 の 文型第1問(1)(2) を解説しようと思います。

文型　第1問(1)

問題

自然数を1から順に, 10進数による最上位から順に書き並べてできる数列

$$1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 1, 0, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 4, \cdots$$ について, 初項から第2022項までの総和はいくらか.

【第4回垂れ流し数学模試】理型第1問解説

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今回は 第4回垂れ流し数学模試 の 理型第1問 を解説しようと思います。

理型　第1問

問題

${\rm BC}=1$である$\triangle$ABCがあり, その辺BCを$1:2$に内分する点を${\rm Q}_{0}$とする.
以下, 自然数$n$に対して, 次の要領で4点${\rm B}_{n}$, ${\rm P}_{n}$, ${\rm C}_{n}$, ${\rm Q}_{n}$を帰納的にとる.

• 任意の自然数$i$に対し, ${\rm Q}_{i-1}$を通りACに平行な直線と辺ABとの交点を${\rm B}_{i}$とし,
  ${\rm B}_i$を通り${\rm AQ}_{0}$に平行な直線と辺BCとの交点を${\rm P}_i$,
  ${\rm P}_i$を通りABに平行な直線と辺ACとの交点を${\rm C}_i$,
  ${\rm C}_i$を通り${\rm AQ}_{0}$に平行な直線と辺BCとの交点を${\rm Q}_i$とする.

各自然数$n$に対する線分${\rm P}_{n}{\rm Q}_{n}$の長さを$l_n$とおくとき, $\dlim_{n\to \infty}{l_n}$を求めよ.