【高校数学I,II】展開の公式(2)

皆さん、こんにちは!　TomoKです。

前回は、2次の展開公式を学習しました。
今回は、3次の展開公式を使えるように学習しましょう。
少しややこしいものがありますから、慎重に覚えましょう。

(ちなみに、今回も厳密には数Iの内容ではありません。
数IIで学習します。
が、またもやここで記事を書くことにしたのは
勝手な私の願望でございます。)

では、今回の内容に入ります。

[1] 3次の展開の公式

3次の基本となる公式をまず紹介しておきます。
ぜひ正確に覚えておきましょう。

展開の公式(4)
(7) $(\textcolor{green}{a}\textcolor{red}{+}\textcolor{blue}{b})^3=\textcolor{green}{a}^3\textcolor{red}{+3}\textcolor{green}{a}^{2}\textcolor{blue}{b}\textcolor{red}{+3}\textcolor{green}{a}\textcolor{blue}{b}^2\textcolor{red}{+}\textcolor{blue}{b}^3$
(7') $(\textcolor{green}{a}\textcolor{red}{-}\textcolor{blue}{b})^3=\textcolor{green}{a}^3\textcolor{red}{-3}\textcolor{green}{a}^{2}\textcolor{blue}{b}\textcolor{red}{+3}\textcolor{green}{a}\textcolor{blue}{b}^2\textcolor{red}{-}\textcolor{blue}{b}^3$

左からaが3次から次数を減らしていき、
3→2→1→0と変化します。
それと同時に、
左からbが0次から次数を増やしていき、
0→1→2→3となっていきます。
中2つのところに係数3がつくのを忘れないでください。

これも(7')の$(a-b)^3$は(7)でbを-bに置き換えただけです。

(7')を覚える人は、
符号が奇数乗なら-, 偶数乗なら+であること注意してください。

例えば、
$(\textcolor{green}{x}\textcolor{red}{+}\textcolor{blue}{2})^3=\textcolor{green}{x}^3\textcolor{red}{+3}\cdot \textcolor{green}{x}^{2}\cdot \textcolor{blue}{2}\textcolor{red}{+3}\cdot \textcolor{green}{x}\cdot \textcolor{blue}{2}^2\textcolor{red}{+}\textcolor{blue}{2}^3=x^2+6x^2+12x+8$

$(\textcolor{green}{3x}\textcolor{red}{-}\textcolor{blue}{2y})^3=(\textcolor{green}{3x})^3\textcolor{red}{-3}\cdot (\textcolor{green}{3x})^{2}\cdot \textcolor{blue}{2y}\textcolor{red}{+3}\cdot \textcolor{green}{3x}\cdot (\textcolor{blue}{2y})^2\textcolor{red}{-}(\textcolor{blue}{2y})^3$
$\phantom{(3x-2y)^3}=27x^3-54x^{2}y+36xy^2-8y^3$
となります。
下は、(7')を使わず(7)を使えば、
$(3x-2y)^3=\{\textcolor{green}{3x}+(\textcolor{blue}{-2y})\}^3$
$\phantom{(3x-2y)^3}=\textcolor{green}{a}^3+\textcolor{red}{3}\cdot (\textcolor{green}{3x})^{2}\cdot (\textcolor{blue}{-2y})+\textcolor{red}{3}\cdot \textcolor{green}{3x}\cdot (\textcolor{blue}{-2y})^2+(\textcolor{blue}{-2y})^3$
$\phantom{(3x-2y)^3}=27x^2-54x^{2}y+36xy^2-8y^3$
となって、累乗の符号さえ間違えなければ
すべて+でつなげるだけで展開できます。

練習問題
Q1. 次の式を展開せよ。
　(1) $(x+5)^3$　　(2) $(2x-1)^3$
　(3) $(4x+y)^3$　　(4) $(x-3y)^3$

ところで、この公式(7)を証明するには、
(7)の左辺、すなわち、$(a+b)^3$を、
分配法則を利用して展開する必要があります。

今回は、(7)の証明を穴埋め形式でやってもらいましょう。

練習問題
Q2. $(a+b)^3=a^3+a^{2}b+ab^2+b^3$が成り立つことを、次のように証明した。
　　空欄[　ア　],[　イ　],[　ウ　],[　エ　],[　オ　]に入る式または数を答えよ。
　　ただし、3つの空欄[　ア　]には同じものが入る。

　[証明]
　　$(a+b)^3=(a+b)(a+b)^2$
　　$\phantom{(a+b)^3}=(a+b)(a^2+$[　ア　]$+b^2)$
　　$\phantom{(a+b)^3}=a(a^2+$[　ア　]$+b^2)+b(a^2+$[　ア　]$+b^2)$
　　$\phantom{(a+b)^3}=(a^3+$[　イ　]$+ab^2)+(a^{2}b+$[　ウ　]$+b^3)$
　　$\phantom{(a+b)^3}=a^3+$[　エ　]$a^{2}b+$[　オ　]$ab^2+b^3$　　　(終)

ここまではよろしいでしょうか?

よろしければ、次の公式に参りましょう。
こちらも使用頻度がそこそこ高いといえる公式ですが、
非常に間違えやすいので、
ぜひ、正確に覚えていってください。

展開の公式(5)
(8) $(\textcolor{green}{a}\textcolor{red}{+}\textcolor{blue}{b})(\textcolor{green}{a}^2\textcolor{red}{-}\textcolor{green}{a}\textcolor{blue}{b}\textcolor{red}{+}\textcolor{blue}{b}^2)=\textcolor{green}{a}^3\textcolor{red}{+}\textcolor{blue}{b}^3$
(8') $(\textcolor{green}{a}\textcolor{red}{-}\textcolor{blue}{b})(\textcolor{green}{a}^2\textcolor{red}{+}\textcolor{green}{a}\textcolor{blue}{b}\textcolor{red}{+}\textcolor{blue}{b}^2)=\textcolor{green}{a}^3\textcolor{red}{-}\textcolor{blue}{b}^3$

(8)のほうは、
左の$(a\textcolor{red}{+}b)$と右の$a^3\textcolor{red}{+}b^3$はいいのですが、
真ん中は$(a^2\textcolor{red}{-}ab+b^2)$と$ab$の符号だけ-になります。

しかもどっかで見覚えがあるかもしれない形ですが、
似ているだけです。
×$(a^2\textcolor{blue}{-2}ab+b^2)$としないように注意!
2はここではなくなってしまいます。

(8')のほうはこれまた(8)でbを-bにしただけですが、
こちらも左の$(a\textcolor{red}{-}b)$と右の$a^3\textcolor{red}{-}b^3$はいいのですが、
真ん中は$(a^2\textcolor{red}{+}ab+b^2)$と$ab$の符号が+になります。

これも例を見ましょうか。

$(a+4)(a^2-4a+16)$を展開する場合は、
$(a+4)(a^2-4a+16)=(\textcolor{green}{a}\textcolor{red}{+}\textcolor{blue}{4})(\textcolor{green}{a}^2\textcolor{red}{-}\textcolor{green}{a}\cdot \textcolor{blue}{4}\textcolor{red}{+}\textcolor{blue}{4}^2)$　←(8)でaがa, bが4
$\phantom{(a+4)(a^2-4a+16)}=\textcolor{green}{a}^3\textcolor{red}{+}\textcolor{blue}{4}^3$
$\phantom{(a+4)(a^2-4a+16)}=a^3+64$
となります。

続いて、$(3x-2y)(9x^2+6xy+4y^2)$を展開するときは、
$(3x-2y)(9x^2+6xy+4y^2)=(\textcolor{green}{3x}\textcolor{red}{-}\textcolor{blue}{2y})\{(\textcolor{green}{3x})^2\textcolor{red}{+}\textcolor{green}{3x}\cdot \textcolor{blue}{2y}\textcolor{red}{+}(\textcolor{blue}{2y})^2\}$

←(8')でaが3x, bが2y

$\phantom{(3x-2y)(9x^2+6xy+4y^2)}=(\textcolor{green}{3y})^3\textcolor{red}{-}(\textcolor{blue}{2x})^3$
$\phantom{(3x-2y)(9x^2+6xy+4y^2)}=27x^3-8y^3$
となります。
もちろん、aが3x, bが-2yと思って、
(8)を使うのもありだと思います。

いずれにせよ、
公式を適用するときに、
その式の形に合うかどうかを十分見極めることが非常に重要です。

練習問題
Q3. 次の式を展開せよ。
　(1) $(x+1)(x^2-x+1)$　　(2) $(3x-4)(9x^2+12x+16)$
　(3) $(2a+b)(4a^2-2ab+b^2)$　　(4) $(5x-2y)(25x^2+10xy+4y^2)$

Q4. 上の練習問題Q2にならって、
　　$(a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3$を、分配法則に従って証明せよ。

さて、長々とやってきた展開公式シリーズですが、
本当のところだともう1個
覚えておくとそこそこ便利な公式があるんですが、
これ、あまり展開のときには役に立ちそうにないもので、
今回はお預け…

ゆえ、
今のところ、覚えてほしい公式類は以上です。

最後に、前回分、今回分の総復習問題を用意します。
各公式のポイントをよく思い出して、
全問正解を目指してください!

それでは、どうぞ!

練習問題
Q5. 次の式を展開せよ。
　(1) $(2x-3)^2$　　(2) $(3x+1)^3$　　(3) $(x+7)(2x-3)$　　(4) $(8x+3)(8x-3)$
　(5) $(4x-3y)(2x-5y)$　　(6) $(3x+5y)(9x^2-15xy+25y^2)$　　(7) $(4a-3b)^3$

お疲れ様でした。

また例のように、記事の最後に解答を用意しておりますので、
答えを確認してください。
全問正解できたでしょうか...?

できなかったところは、ぜひ記事を見直して、
公式があっているか、
計算が合っているか、
もう一度チェックしましょう!

何度も解いて、直して、を繰り返すことが、
上達への道ですよ!

そして、次回は、
これらの公式を使った展開の工夫についてみていきたいと思います。

では、今回はここまで。
お読みいただきありがとうございました。
ではまた!

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練習問題の答え

Q1. (1) $x^3+15x^2+75x+125$　　(2) $8x^3-12x^2+6x-1$

　(3) $64x^3+48x^{2}y+12xy^2+y^3$　　(4) $x^3-9x^{2}y+27xy^2-27y^3$

Q2. ア　$2ab$　　イ　$2a^{2}b$　　ウ　$2ab^2$　　エ　$3$　　オ　$3$

Q3. (1) $x^3+1$　　(2) $27x^3-64$　　(3) $8a^3-b^3$　　(4) $125x^3-8y^3$

Q4. [証明] $(a+b)(a^2-ab+b^2)=a(a^2-ab+b^2)+b(a^2-ab+b^2)$
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　$=(a^3-a^{2}b+ab^2)+(a^2{b}-ab^2+b^3)$
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　$=a^3+b^3$　　　　　　　　　　　　　　　　(終)

Q5. (1) $4x^2-12x+9$　　(2) $27x^3+27x^2+9x+1$　　(3) $2x^2+11x-21$　　(4) $64x^2-9$

　(5) $8x^2-26xy+15y^2$　　(6) $27x^3+125y^3$　　(7) $64a^3-144a^{2}b+108ab^2-27b^3$