【高校数学I】展開の公式(1)

皆さん、こんにちは!　TomoKです。

今まで、整式の加法、減法、乗法、および除法を学習しました。

今後しばらくは、式を扱ううえで
基本として使えるようになってほしい
展開や因数分解の公式や方法についてのお話が中心となります。

今回は、その第1弾として、
2次の展開公式について
お話していきます。

[1] 2次の展開の公式

まずは中学校の復習です。
次の5つの公式を学習しているはずです。

展開の公式(1)
(1) $m(x+y)=mx+my$　　　　　　　　(分配法則)
(2) $(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab$
(3) $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$　　　　(和の2乗）
(3') $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$　　　　(差の2乗）
(4) $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$　　　　　（和と差の積）

注意すべき部分がいくつかありましたね。
特に注意が必要なところは...

(3)と（3'）は中央の符号は(  )内の符号によって変わり、
最後の項の符号は常に＋になります。
中央の項の2も忘れないように。
(3) $(a\textcolor{red}{+}b)=a^2\textcolor{red}{+2}ab\textcolor{red}{+}b^2$
(3') $(a\textcolor{red}{-}b)=a^2\textcolor{red}{-2}ab\textcolor{red}{+}b^2$
(3')は(3)のbが-bにかわった、と考えると、
符号のところは理解できるはずです。

(4)は2つの（　）の中が、
前の項が同じで、後ろの項は符号が違うだけ
のときに使います。

例を見てみます。

$(x+7)(x-2)$を展開するには、公式(2)を使って、
$(x+7)(x-2)=x^2+(7-2)x+7\cdot (-2)=x^2+5x-14$
となります。

$(a+6)^2$や$(3x-2)^2$を展開するには、公式(3)や(3')を使って、
$(a+6)^2=a^2\textcolor{red}{+2}\cdot a\cdot 6\textcolor{red}{+}6^2=a^2+12a+6$
$(3x-2y)^2=(3x)^2\textcolor{red}{-2}\cdot 3x\cdot 2y\textcolor{red}{+}(2y)^2=9x^2-12xy+4y^2$
です。

$(4x-5)(4x+5)$を展開するには、公式（4）を使って、
$(4x-5)(4x+5)=(4x)^2-5^2=16x^2-25$
となります。

それぞれの式の形がどの公式にあてはまるか、
よく確かめて公式を使いましょう。

練習問題
Q1. 次の式を展開せよ。
　(1) $-3a(4a-b)$　　(2) $(x-5)(x-7)$　　(3) $(x+10y)(x-y)$
　(4) $(3x-1)^2$　　(5) $(4x+3y)^2$　　(6) $(x+8)(x-8)$　　(7) $(6x-7y)(6x+7y)$

では、お待たせしました、
新しい公式です。
…といっても、次の公式は個人的には
そんなに利用価値が高い気はしないんですが…

展開の公式(2)
(5) $(\textcolor{red}{a}x+\textcolor{orangered}{b})(\textcolor{green}{c}x+\textcolor{blue}{d})=\textcolor{red}{a}\textcolor{green}{c}x^2+(\textcolor{red}{a}\textcolor{blue}{d}+\textcolor{orangered}{b}\textcolor{green}{c})x+\textcolor{orangered}{b}\textcolor{blue}{d}$

式の中で、$x$について同じ次数になる部分をかき集めろ、
と言っているわけですね。
つまり、
・$x^2$の項はxが2個--->両方左側(ac)
・$x$の項はxが1個--->外側どうし(ad)、内側どうし(bc)をそれぞれかけてたす
・定数項はxが0個--->両方右側(bd)
になってるわけです。

例えば、
$(\textcolor{red}{3}x+\textcolor{orangered}{1})(\textcolor{green}{2}x+\textcolor{blue}{1})$
を展開するときは、
・$x^2$の項は両方左側　$\textcolor{red}{3}\times \textcolor{green}{2}x^2=6x^2$
・$x$の項は外側どうしと内側どうしをかけて足すから　$(\textcolor{red}{3}\times \textcolor{blue}{1}+\textcolor{orangered}{1}\times \textcolor{green}{2})x=(3+2)x=5x$
・定数項は両方右側　$\textcolor{orangered}{1}\times \textcolor{blue}{1}=1$
となるので、$(3x+1)(2x+1)=6x^2+5x+1$となります。

同様にして、例えば、
$(\textcolor{red}{2}x\textcolor{orangered}{-3})(x+\textcolor{blue}{4})=\textcolor{red}{2}\times \textcolor{green}{1}x^2+\{ \textcolor{red}{2}\times \textcolor{blue}{4}+(\textcolor{orangered}{-3})\times \textcolor{green}{1}\}x+(\textcolor{orangered}{-3})\times \textcolor{blue}{4}=2x^2+5x-12$

$(\textcolor{red}{6}x\textcolor{orangered}{-y})(\textcolor{green}{5}x\textcolor{blue}{-2y})=\textcolor{red}{6}\times \textcolor{green}{5}x^2+\{ \textcolor{red}{6}\times (\textcolor{blue}{-2y})+(\textcolor{orangered}{-y})\times \textcolor{green}{5}\} x+(\textcolor{orangered}{-y})\times (\textcolor{blue}{-2y})$
$\phantom{(6x-y)(5x-2y)}=30x^2-17x\underline{y}+2y^2$
という感じになります。
下の例では、$y$を忘れないようにしましょう。

練習問題
Q2. 次の式を展開せよ。
　(1) $(x+1)(2x+1)$　　(2) $(3x-2)(x+3)$　　(3) $(2x-5)(4x-1)$
　(4) $(4x+y)(x-2y)$　　(5) $(3a+4b)(3a+2b)$　　(6) $(5x-4y)(2x-7y)$

続いて、こちらは3項の和の2乗の公式です。
これはたまに使う公式ですから覚えておきましょう。

展開の公式(3)
(6) $(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+\textcolor{red}{2}ab+\textcolor{red}{2}bc+\textcolor{red}{2}ca$

注　上にcaとあります。acと書いてもよいのですが、a→b→c→aという順番になるよう、
　わざとcaと書くことがあります。この書き方を、輪環の順と呼びます。

なかなかきれいな公式だと思ってくれるとうれしいです。
2乗、2乗、2乗、の後、「2×2つを選んで積」が全部で3組
という感じです。

これは使えるようになると、
わざわざ分配法則使ったり、
筆算したりする手間が省けるので、
非常に便利です。

なお、もし-が出てきたら、
適宜、aを-aに、bを-bに、cを-cに変えて使います。

例えば、
$(x+2y+3)^2=x^2+(2y)^2+3^2+\textcolor{red}{2}\cdot x\cdot 2y+\textcolor{red}{2}\cdot 2y\cdot 3+\textcolor{red}{2}\cdot 3 \cdot x$
$\phantom{(x+2y+3)^2}=x^2+4y^2+9+4xy+12y+6x$
$\phantom{(x+2y+3)^2}=x^2+4xy+4y^2+6x+12y+9$

$(4x-3y+2z)^2=\{4x+(\textcolor{blue}{-3y})+2z\}^2$
$\phantom{(4x-3y+2z)^2}=(4x)^2+(\textcolor{blue}{-3y})^2+(2z)^2$

$+\textcolor{red}{2}\cdot 4x\cdot (\textcolor{blue}{-3y})+\textcolor{red}{2}\cdot (\textcolor{blue}{-3y})\cdot 2z+\textcolor{red}{2}\cdot 2z \cdot 4x$

$\phantom{(4x-3y+2z)^2}=16x^2+9y^2+4z^2-24xy-12yz+16zx$
という感じ。

なお、この公式(6)の証明は
次の次あたりで練習問題にしますので
期待して待っててください!

練習問題
Q3. 次の式を展開せよ。
　(1) $(x+y+1)^2$　　(2) $(3a-b+2)^2$
　(3) $(x+5y-3z)^2$　　(4) $(2x-4y-5z)^2$

というわけで、ここまでで2次の主な公式を取り上げました。

ところで、3項の和の2乗はわかりましたが、
4項、5項のときはどうなるのか、
知りたい人は、頑張ってやってみてください。
この前と同様、レベルアップ問題の解答は今回は載せませんので、
じっくり取り掛かってください。
実は、ある規則性がありますので、
それが見つかるといいかな、と思います。

レベルアップ問題
LUQ3. 次の式を展開せよ。
　(1) $(a+b+c+d)^2$　　(2) $(a+b+c+d+e)^2$

次回は3次の展開公式になります。
少しややこしい公式が登場しますので、
今回のところはよく復習して、
練習問題制覇を目指してください!

では、今回はここまで。
お読みくださりありがとうございました。
ではまた!

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練習問題の答え

Q1. (1) $-12a^2+3ab$　　(2) $x^2-12x+35$　　(3) $x^2+9xy-10y^2$

　(4) $9x^2-6x+1$　　(5) $16x^2+24xy+9y^2$　　(6) $x^2-64$　　(7) $36x^2-49y^2$

Q2. (1) $2x^2+3x+1$　　(2) $3x^2+7x-6$　　(3) $8x^2-22x+5$

　(4) $4x^2-7xy-2y^2$　　(5) $9x^2+18xy+8y^2$　　(6) $10x^2-43xy+28y^2$

Q3. (1) $x^2+2xy+y^2+2x+2y+1$

　(2) $9a^2-6ab+b^2+12a-4b+4$

　(3) $x^2+25y^2+9z^2+10xy-30yz-6zx$

　(4) $4x^2+16y^2+25z^2-16xy+40yz-20zx$