【高校数学I】整式の加法・減法・乗法

皆さん、こんにちは!　TomoKです。

前回までは、基本的な式の見方を見てきました。
忘れた人は、ぜひ復習してください。

【高校数学I】ある文字に着目して考える
【中学数学, 高校数学I】多項式と単項式

そしていよいよ今回からは、
整式を計算するところに入ります。

今回は、
整式の加法(たし算)・減法(ひき算)・乗法(かけ算)
について考えたいと思います。
中学校までの式の計算ができている人であれば、
今回はやりやすいと思います。

では、今回の内容に入ります。

[1] 整式の加減

整式どうしの加法(たし算)は、符号そのままにたすことができます。

例えば、2つの整式
$2x^2-3x+4$と$5x^2+4x-1$
をたすときは、

$\quad (2x^2-3x+4)+(5x^2+4x-1)$
$=2x^2-3x+4+5x^2+4x-1$
$=2x^2+5x^2-3x+4x+4-1$
$=7x^2+x+3$

となります。
整式どうしをたすとき、
特に多項式をたすときは、
まずはじめに、その多項式を(　)で囲んだ式を書いておきましょう。
これは、その他の計算のときも同様です。

次に、整式どうしの減法(ひき算)は、各項の符号を変えてたします。

これも、先ほどの整式で例を示します。
$2x^2-3x+4$から$5x^2+4x-1$をひく計算は、

$\quad (2x^2-3x+4)-(5x^2+4x-1)$
$=2x^2-3x+4\textcolor{red}{-}5x^2\textcolor{red}{-}4x\textcolor{red}{+}1$
$=2x^2-5x^2-3x-4x+4+1$
$=-3x^2-7x+5$

となります。
-(　)の中は、項の符号がすべて変わっていきます。

このような整式の加法・減法は、
次のように筆算で行うこともできます。

ポイントは、
同類項(文字の部分が同じ2つの項)をそろえて
縦に並んだ項どうしをたしたりひいたりする
ということです。
数の加減の筆算とやり方は似ています。

では、練習問題です。
いつもの通り、答えは記事の最後にあります。

練習問題
Q1. 4つの整式
　　　$A=3x^2-xy-y^2+2x-y,\quad B=x^2+5xy-4y^2+5y,$
　　　$C=5x^2-2xy+3y^2-x+y,\quad D=-2x^2+2y^2-3x+4y$
　　がある。
　(1) $A$と$B$をたせ。 　　　(2) $C$と$D$をたせ。
　(3) $A$から$C$をひけ。　　(4) $B$から$D$をひけ。

[2] 整式の乗法

では、今度は整式の乗法(かけ算)について考えます。
今度は分配法則 $m(x+y)=mx+my$をフルに使っていきます。

$\quad \textcolor{red}{(2x^2-3x+4)}(5x^2+4x-1)$
$=\textcolor{red}{(2x^2-3x+4)}\cdot 5x^2+\textcolor{red}{(2x^2-3x+4)}\cdot 4x+\textcolor{red}{(2x^2-3x+4)}\cdot (-1)$
$=10x^4-15x^3+20x^2+8x^3-12x^2+16x-2x^2+3x-4$
$=10x^4-15x^3+8x^3+20x^2-12x^2-2x^2+16x+3x-4$
$=10x^4-7x^3+6x^2+19x-4$

となります。ちなみに、途中の式の「・」はかけ算の記号「×」と同じ意味です。
ふう…　長いですねぇ。
「ここで分配法則を使ってますよ」と伝えるのにどうすればいいか悩みました。
結果4か所を赤くしただけですが。

まあ、これも筆算でやる方法があるんですけどね。

次数の低い項のほうからかけていって、同類項が出てきたら縦に並べて書いておきます。
最後にそれらを、たし算の筆算の要領ですべてたします。
これも、数のかけ算の筆算と似てますね。

定義
2つの整式の積を、1つの整式で表すことを、その積を展開するという。

では、次の練習問題です。
答えは記事の最後にあります。

練習問題
Q2. 次の式を展開せよ。
　(1) $(x+7)(3x-2)$　　　　　　　　　　(2) $(2x-1)(x^2-4x-3)$
　(3) $(2x^2-xy+3y^2)(3x+2y)$　　(4) $(x^2-5x+1)(2x^2+3x-4)$

[3] いろいろな式の計算

ある整式の塊を文字で表したとき、
さらにその文字を使って表された式を計算することができます。

例えば、
$\textcolor{red}{A=3x-4},\quad \textcolor{blue}{B=x^2-x+3}$
とします。

このとき、$2A-B$は次のように計算できます。
$\quad 2\textcolor{red}{A}-\textcolor{blue}{B}$
$=2\textcolor{red}{(3x-4)}-\textcolor{blue}{(x^2-x+3)}$
$=6x-8-x^2+x-3$
$=-x^2+7x-11$

また、例えば$A^2+3AB$なら、
$\quad {\textcolor{red}{A}}^2+3\textcolor{red}{A}\textcolor{blue}{B}$
$={\textcolor{red}{(3x-4)}}^2+3\textcolor{red}{(3x-4)}\textcolor{blue}{(x^2-x+3)}$
$=（3x-4)(3x-4)+3(3x-4)(x^2-x+3)$
$=(9x^2-24x+16)+3(3x^3-7x^2+13x-12)$
$=9x^2-24x+16+9x^3-21x^2+39x-36$
$=9x^3-12x^2+15x-20$
と計算できます。

ただし、この$A^2+3AB$は、
${\textcolor{red}{A}}^2+3\textcolor{red}{A}\textcolor{blue}{B}=\textcolor{red}{A}(\textcolor{red}{A}+3\textcolor{blue}{B})$
のようにAでくくれますので、
まず$\textcolor{red}{A}+3\textcolor{blue}{B}$を、
$\quad \textcolor{red}{A}+3\textcolor{blue}{B}$
$=\textcolor{red}{(3x-4)}+3\textcolor{blue}{(x^2-x+3)}$
$=3x-4+3x^2-3x+9$
$=3x^2+5$
と計算してから、
$\quad A^2+3AB$
$=\textcolor{red}{A}(\textcolor{red}{A}+3\textcolor{blue}{B})$
$=\textcolor{red}{A}(3x^2+5)$
$=\textcolor{red}{(3x-4)}(3x^2+5)$
$=9x^3-12x^2+15x-20$
とすると、次数の上がるかけ算は1回分だけ回避できます。

このように、代入した後の計算をできるだけ簡単にできるように、
代入する前の式にひと工夫しておくといい場合があります。

では、今回最後の練習問題です。
答えはこの記事の最(ry

練習問題
Q3. $A=2x^2-3x-3,\quad B=x^2+2x-5,\quad C=3x-1$のとき、次の式を計算せよ。
　(1) $3A-2B$　　(2) $C^2+3B$　　(3) $AC-2BC$

今回の内容はここまでですが、
今回は少しlevel upした問題も用意しましたので、
余裕のある人は是非取り組んでください。

この「レベルアップ問題」の解答は・・・
今回は掲載しません。
だから、じっくり考えて、解き切ってください。

レベルアップ問題
LUQ1. $A=8x^3+x^2-5x+4,\quad B=2x^3-2x^2+x-5$とするとき、
　　等式$A-2X=B+X$を満たすような$x$の整式$X$を求めよ。

LUQ2. 2つの$x, y$の整式$P,Q$があって、
　　$P+Q=2x^2-4xy+7y^2$および$2P-3Q=9x^2-13xy-y^2$が成り立つ。
　　このとき、$P,Q$を求めよ。

ところで、ここまで読んできて、
たし算、ひき算、かけ算は出てきたけれど、
なんか足りない気がする、と思った人もいるかもしれません。
その足りないヤツ、わり算については、
また次の数学の記事にて書きたいと思いますので
お楽しみに!

と、いうわけで、終わり、といいたいところですが、
そういえば、このブログを立ち上げてから
ほとんど数学のお話しかしておりませんでしたので、
もしかすると次回は標識の記事になるかもしれません。
道路標識に関するお話も、ぜひ楽しんでください。

ということで、今度こそ終わりです。
ここまでお読みくださりありがとうございました。
ではまた!

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練習問題の答え

Q1. (1) $4x^2+4xy-5y^2+2x+4y$　　(2) $3x^2-2xy+5y^2-4x+5y$

　　(3) $-2x^2+xy-4y^2+3x-2y$　　(4) $3x^2+5xy-6y^2+3x+y$

Q2. (1) $3x^2+19x-14$　　(2) $2x^3-9x^2-2x+3$　　(3) $6x^3+x^{2}y+7xy^2+6y^3$

　　(4) $2x^4-7x^3-17x^2+23x-4$

Q3. (1) $3(2x^2-3x-3)-2(x^2+2x-5)=6x^2-9x-9-2x^2-4x+10$
　　　$=\underline{4x^2-13x+1}$

　　(2) $(3x-1)^2+3(x^2+2x-5)=9x^2-6x+1+3x^2+6x-15=\underline{12x^2-14}$

　　(3) $AC-2BC=(A-2B)C$である。
　　　ここで、
　　　$A-2B=(2x^2-3x-3)-2(x^2+2x-5)$
　　　　　　　　　$=2x^2-3x-3-2x^2-4x+10=-7x+7$
　　　よって、
　　　$AC-2BC=(A-2B)C=(-7x+7)(3x-1)=\underline{-21x^2+28x-7}$