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2023年2月3日

【第5回垂れ流し数学模試】理型第3問・文型第3問解説

皆さんこんにちは!
TomoKです。

今回は 第5回垂れ流し数学模試 の 理型第3問・文型第3問 を解説しようと思います。

理型 第3問・文型 第3問

問題

空間上に, \rm OA=OB=3, \rm AB=2の二等辺三角形OABを側面として互いに共有する
異なる2つの正四角錐\rm O\text{-}ABCD, \rm O\text{-}ABC'D'がある.

  1. \vect{\rm OA}=\vect{a}, \vect{\rm OB}=\vect{b}, \vect{\rm OC}=\vect{c}とするとき, \vect{\rm OC'}\vect{a}, \vect{b}, \vect{c}を用いて表せ.
  2. 線分OCを5:2に内分する点をPとする.
    平面\rm PAD'と線分OBとの交点をQとするとき, 線分比\rm OQ:QBを求めよ.

空間ベクトルや, それを用いて考える平面と線分の交点の分点問題です.
図を描いたうえで, 対称性をうまく利用して進めていきましょう.

解答のために考えること

(1)については, 線分CC'と平面OABとの交点をMとすると,
2つの正四角錐の対称性より, Mは線分CC'の中点であり,
かつ線分(直線)CMと平面OABは垂直になります.

よってMが平面OAB上にあることと{\rm CM}\bot \vect{a}かつ{\rm CM}\bot \vect{b}から
\vect{\rm OM}\vect{a}, \vect{b}で表すことを考えます.

(2)ではQが線分OB上および平面PAD'上にあることから\vect{\rm OQ}を求めます.

解答


  1. まず, |\vect{a}|=|\vect{b}|=|\vect{c}|=3
    |\vect{\rm AB}|^2=|\vect{b}-\vect{a}|^2=|\vect{b}|^2-2\vect{a}\cdot\vect{b}+|\vect{a}|^2=18-2\vect{a}\cdot\vect{b}=4より\vect{a}\cdot\vect{b}=7
    同様に|\vect{\rm BC}|^2=4より\vect{b}\cdot\vect{c}=7

    また正四角錐\rm O\text{-}ABCDの底面は正方形ABCDだから, \vect{\rm AB}\bot \vect{\rm CB}
    よって,
    \begin{aligned} \vect{\rm AB}\cdot \vect{\rm CB}&=(\vect{b}-\vect{a})\cdot(\vect{b}-\vect{c})\\ &=|\vect{b}|^2-\vect{a}\cdot\vect{b}-\vect{b}\cdot\vect{c}+\vect{a}\cdot\vect{c}\\ &=-5+\vect{a}\cdot\vect{c}=0 \end{aligned}
    より, \vect{a}\cdot\vect{c}=5

    2つの正四角錐\rm O\text{-}ABCD, \rm O\text{-}ABC'D'が平面OABに関し互いに対称であるから,
    線分CC'と平面OABの交点をMとすると, MはCC'の中点, かつCMは平面OABに垂直となる.

    したがってC'はCMを2:1に外分する点で, \vect{\rm OC'}=-\vect{c}+2\vect{\rm OM}\quad (\cdots ①) であるので, \vect{\rm OM}を求める.

    Mは平面OAB上にあるので, ある実数k, lを用いて, \vect{\rm OM}=k\vect{a}+l\vect{b}\quad (\cdots ②) と表せる.

    CMは平面OABに垂直より\vect{\rm CM}\bot \vect{a}かつ\vect{\rm CM}\bot \vect{b}だから,
    \vect{\rm CM}\cdot \vect{a}={\rm CM}\cdot \vect{b}=0である.

    \vect{\rm CM}=\vect{\rm OM}-\vect{c}=k\vect{a}+l\vect{b}-\vect{c}だから, {\rm CM}\cdot \vect{a}=0より, \begin{aligned} (k\vect{a}+l\vect{b}-\vect{c})\cdot \vect{a}&=k|\vect{a}|^2+l\vect{a}\cdot\vect{b}-\vect{a}\cdot\vect{c}\\ &=9k+7l-5=0\quad (\cdots ③) \end{aligned} \vect{\rm CM}\cdot \vect{b}=0より, \begin{aligned} (k\vect{a}+l\vect{b}-\vect{c})\cdot \vect{b}&=k\vect{a}\cdot\vect{b}+l|\vect{b}|^2-\vect{b}\cdot\vect{c}\\ &=7k+9l-7=0\quad (\cdots ④) \end{aligned}

    ③, ④よりk=-\dfrac{1}{8}, l=\dfrac{7}{8}だから, ②より\vect{\rm OM}=-\dfrac{1}{8}\vect{a}+\dfrac{7}{8}\vect{b}

    したがって①より, \begin{aligned} \vect{\rm OC'}&=-\vect{c}+2\vect{\rm OM}\\ &=-\vect{c}+2\left(-\dfrac{1}{8}\vect{a}+\dfrac{7}{8}\vect{b}\right)\\ &=\bold{-\dfrac{1}{4}\vect{a}+\dfrac{7}{4}\vec{b}-\vect{c}} \end{aligned}

  2. 四角形ABC'D'は正四角錐\rm O\text{-}ABC'D'の底面で正方形だから,
    \vect{\rm C'D'}=\vect{\rm BA}=\vect{a}-\vect{b}. よって, \begin{aligned} \vect{\rm OD'}&=\vect{\rm OC'}+\vect{\rm C'D'}\\ &=\left(-\dfrac{1}{4}\vect{a}+\dfrac{7}{4}\vec{b}-\vect{c}\right)+\left(\vect{a}-\vect{b}\right)\\ &=\dfrac{3}{4}\vect{a}+\dfrac{3}{4}\vec{b}-\vect{c} \end{aligned} である.

    またPは線分OCを5:2に内分するので, \vect{\rm OP}=\dfrac{5}{7}\vect{c}である.

    Qは線分OB上にあるので, \vect{\rm OQ}=m\vect{b}(…⑤)かつ0\leqq m\leqq 1となる実数mがある.

    さらにQは平面PAD'上にあるので, ある実数s, tを用いて, \begin{aligned} \vect{\rm OB}&=(1-s-t)\vect{a}+s\vect{\rm OP}+t\vect{\rm OD'}\\ &=(1-s-t)\vect{a}+\dfrac{5}{7}s\vect{c}+t\left(\dfrac{3}{4}\vect{a}+\dfrac{3}{4}\vec{b}-\vect{c}\right)\\ &=\left(1-s-\dfrac{1}{4}t\right)\vect{a}+\dfrac{3}{4}t\vect{b}+\left(\dfrac{5}{7}s-t\right)\vect{c}\quad(\cdots⑥) \end{aligned} と表せる.

    \vect{a}, \vect{b}, \vect{c}はいずれも\vect{0}とは異なり, どの2本も平行でなく,
    かつこれら3本が同一平面にはないので, ⑤, ⑥より, 1-s-\dfrac{1}{4}t=0,\quad \dfrac{3}{4}t=m,\quad \dfrac{5}{7}s-t=0

    したがって, s=\dfrac{28}{33}, t=\dfrac{20}{33}, m=\dfrac{5}{11}であるので, ⑤より\vect{\rm OQ}=\dfrac{5}{11}\vect{b}.
    よって, {\rm OQ:QB}=5:(11-5)=\bold{5:6}

次回は理型第4問解説です。
文型第4問はそのさらに次回に解説します.

それでは、最後までお読みいただき、ありがとうございました。
ではまた。

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