【第5回垂れ流し数学模試】理型第3問・文型第3問解説

皆さんこんにちは!
TomoKです。

今回は 第5回垂れ流し数学模試 の 理型第3問・文型第3問 を解説しようと思います。

理型　第3問・文型　第3問

問題

空間上に, $\rm OA=OB=3$, $\rm AB=2$の二等辺三角形OABを側面として互いに共有する
異なる2つの正四角錐$\rm O\text{-}ABCD$, $\rm O\text{-}ABC'D'$がある.

1. $\vect{\rm OA}=\vect{a}$, $\vect{\rm OB}=\vect{b}$, $\vect{\rm OC}=\vect{c}$とするとき, $\vect{\rm OC'}$を$\vect{a}$, $\vect{b}$, $\vect{c}$を用いて表せ.
2. 線分OCを$5:2$に内分する点をPとする.
   平面$\rm PAD'$と線分OBとの交点をQとするとき, 線分比$\rm OQ:QB$を求めよ.

空間ベクトルや, それを用いて考える平面と線分の交点の分点問題です.
図を描いたうえで, 対称性をうまく利用して進めていきましょう.

解答のために考えること

(1)については, 線分CC'と平面OABとの交点をMとすると,
2つの正四角錐の対称性より, Mは線分CC'の中点であり,
かつ線分(直線)CMと平面OABは垂直になります.

よってMが平面OAB上にあることと${\rm CM}\bot \vect{a}$かつ${\rm CM}\bot \vect{b}$から
$\vect{\rm OM}$を$\vect{a}$, $\vect{b}$で表すことを考えます.

(2)ではQが線分OB上および平面PAD'上にあることから$\vect{\rm OQ}$を求めます.

解答

1. 

   まず, $|\vect{a}|=|\vect{b}|=|\vect{c}|=3$
   $|\vect{\rm AB}|^2=|\vect{b}-\vect{a}|^2=|\vect{b}|^2-2\vect{a}\cdot\vect{b}+|\vect{a}|^2=18-2\vect{a}\cdot\vect{b}=4$より$\vect{a}\cdot\vect{b}=7$
   同様に$|\vect{\rm BC}|^2=4$より$\vect{b}\cdot\vect{c}=7$

   また正四角錐$\rm O\text{-}ABCD$の底面は正方形ABCDだから, $\vect{\rm AB}\bot \vect{\rm CB}$
   よって,
   $\begin{aligned} \vect{\rm AB}\cdot \vect{\rm CB}&=(\vect{b}-\vect{a})\cdot(\vect{b}-\vect{c})\\ &=|\vect{b}|^2-\vect{a}\cdot\vect{b}-\vect{b}\cdot\vect{c}+\vect{a}\cdot\vect{c}\\ &=-5+\vect{a}\cdot\vect{c}=0 \end{aligned}$
   より, $\vect{a}\cdot\vect{c}=5$

   2つの正四角錐$\rm O\text{-}ABCD$, $\rm O\text{-}ABC'D'$が平面OABに関し互いに対称であるから,
   線分CC'と平面OABの交点をMとすると, MはCC'の中点, かつCMは平面OABに垂直となる.

   したがってC'はCMを2:1に外分する点で, \[\vect{\rm OC'}=-\vect{c}+2\vect{\rm OM}\quad (\cdots ①)\] であるので, $\vect{\rm OM}$を求める.

   Mは平面OAB上にあるので, ある実数$k$, $l$を用いて, \[\vect{\rm OM}=k\vect{a}+l\vect{b}\quad (\cdots ②)\] と表せる.

   CMは平面OABに垂直より$\vect{\rm CM}\bot \vect{a}$かつ$\vect{\rm CM}\bot \vect{b}$だから,
   $\vect{\rm CM}\cdot \vect{a}={\rm CM}\cdot \vect{b}=0$である.

   $\vect{\rm CM}=\vect{\rm OM}-\vect{c}=k\vect{a}+l\vect{b}-\vect{c}$だから, ${\rm CM}\cdot \vect{a}=0$より, \[ \begin{aligned} (k\vect{a}+l\vect{b}-\vect{c})\cdot \vect{a}&=k|\vect{a}|^2+l\vect{a}\cdot\vect{b}-\vect{a}\cdot\vect{c}\\ &=9k+7l-5=0\quad (\cdots ③) \end{aligned} \] $\vect{\rm CM}\cdot \vect{b}=0$より, \[ \begin{aligned} (k\vect{a}+l\vect{b}-\vect{c})\cdot \vect{b}&=k\vect{a}\cdot\vect{b}+l|\vect{b}|^2-\vect{b}\cdot\vect{c}\\ &=7k+9l-7=0\quad (\cdots ④) \end{aligned} \]

   ③, ④より$k=-\dfrac{1}{8}$, $l=\dfrac{7}{8}$だから, ②より$\vect{\rm OM}=-\dfrac{1}{8}\vect{a}+\dfrac{7}{8}\vect{b}$

   したがって①より, \[ \begin{aligned} \vect{\rm OC'}&=-\vect{c}+2\vect{\rm OM}\\ &=-\vect{c}+2\left(-\dfrac{1}{8}\vect{a}+\dfrac{7}{8}\vect{b}\right)\\ &=\bold{-\dfrac{1}{4}\vect{a}+\dfrac{7}{4}\vec{b}-\vect{c}} \end{aligned} \]

2. 
   四角形ABC'D'は正四角錐$\rm O\text{-}ABC'D'$の底面で正方形だから,
   $\vect{\rm C'D'}=\vect{\rm BA}=\vect{a}-\vect{b}$. よって, \[ \begin{aligned} \vect{\rm OD'}&=\vect{\rm OC'}+\vect{\rm C'D'}\\ &=\left(-\dfrac{1}{4}\vect{a}+\dfrac{7}{4}\vec{b}-\vect{c}\right)+\left(\vect{a}-\vect{b}\right)\\ &=\dfrac{3}{4}\vect{a}+\dfrac{3}{4}\vec{b}-\vect{c} \end{aligned} \] である.

   またPは線分OCを5:2に内分するので, $\vect{\rm OP}=\dfrac{5}{7}\vect{c}$である.

   Qは線分OB上にあるので, $\vect{\rm OQ}=m\vect{b}$(…⑤)かつ$0\leqq m\leqq 1$となる実数$m$がある.
   

   さらにQは平面PAD'上にあるので, ある実数$s$, $t$を用いて, \[ \begin{aligned} \vect{\rm OB}&=(1-s-t)\vect{a}+s\vect{\rm OP}+t\vect{\rm OD'}\\ &=(1-s-t)\vect{a}+\dfrac{5}{7}s\vect{c}+t\left(\dfrac{3}{4}\vect{a}+\dfrac{3}{4}\vec{b}-\vect{c}\right)\\ &=\left(1-s-\dfrac{1}{4}t\right)\vect{a}+\dfrac{3}{4}t\vect{b}+\left(\dfrac{5}{7}s-t\right)\vect{c}\quad(\cdots⑥) \end{aligned} \] と表せる.

   $\vect{a}$, $\vect{b}$, $\vect{c}$はいずれも$\vect{0}$とは異なり, どの2本も平行でなく,
   かつこれら3本が同一平面にはないので, ⑤, ⑥より, \[ 1-s-\dfrac{1}{4}t=0,\quad \dfrac{3}{4}t=m,\quad \dfrac{5}{7}s-t=0 \]

   したがって, $s=\dfrac{28}{33}$, $t=\dfrac{20}{33}$, $m=\dfrac{5}{11}$であるので, ⑤より$\vect{\rm OQ}=\dfrac{5}{11}\vect{b}$.
   よって, \[{\rm OQ:QB}=5:(11-5)=\bold{5:6}\]

次回は理型第4問解説です。
文型第4問はそのさらに次回に解説します.

それでは、最後までお読みいただき、ありがとうございました。
ではまた。