【第5回垂れ流し数学模試】理型第2問・文型第2問解説

皆さんこんにちは!
TomoKです。

今回は 第5回垂れ流し数学模試 の 理型第2問・文型第2問 を解説しようと思います。

理型　第2問・文型　第2問

問題

$p$, $q$が素数で, $p^2+2q^2$, $p^2+4q^2$, $p^2+6q^2$がいずれも素数となるとき,
$p$, $q$の組としてありうるものをすべて求めよ.

与えられた式で表された数が素数になる条件を考える問題です.
$p$が素数であるとき, $p$を$p$以外の素数でわった余りが0にならないことから,
この手の問題はある整数に関する剰余に着目して考えることがとりうる解法となります.

解答のために考えること

$q\neq 3$のとき, $q^2$や$2q^2$は3でわり切れず,
$p$にかかわらず$p^2+2q^2$, $p^2+4q^2$, $p^2+6q^2$の余りはすべて異なります.
整数を3でわった余りは0, 1, 2のいずれかなので, これら3つのうちいずれかは3の倍数になり, 素数でなくなります.
この時点で$q=3$が必要です.

よって$p^2+18$, $p^2+36$, $p^2+54$がすべて素数になるような$p$を求めることになりますが,
こんどは5でわった余りに着目することで上記と同様にして$p=5$しかないことを示します.

$p=5$, $q=3$で$p^2+2q^2$, $p^2+4q^2$, $p^2+6q^2$がすべて素数になることを忘れずに確かめましょう.
以下の解答では, まず$p=5$, $q=3$が求める$p, q$の1つであることを言ってから,
上記の方針でそれ以外では矛盾することを示しています.

解答

$p=5, q=3$のとき,
$p^2+2q^2=43$, $p^2+4q^2=61$, $p^2+6q^2=73$はいずれも素数となり, 求める$p, q$の1つである.
以下, 求める$p, q$が$\bold{p=5, q=3}$のみであることを示す.

まず, $q\neq 3$を仮定する.
$q$は素数より$q$は3で割り切れないので, $q=3k\pm 1$ ($k$はある自然数)とおける.
$q^2=(3k\pm 1)^2=9k^2\pm 6k+1=3(3k^2\pm 2k)+1$ (複合同順)
より$q^2$を3で割ると1余るので, $2q^2$は3で割ると2余る.

したがって$p^2+2q^2$, $p^2+4q^2$, $p^2+6q^2$は3でわった余りがすべて異なるが,
整数を3でわった余りは0, 1, 2のいずれかであるので,
$p^2+2q^2$, $p^2+4q^2$, $p^2+6q^2$のいずれかは3の倍数である.
$p^2+6q^2\gt p^2+4q^2\gt p^2+2q^2\geq 2^2+2\cdot 2^2=12\gt 3$より,
いずれが3の倍数であっても素数3とは異なるため, 矛盾する.

よって$q=3$である.
このとき$p^2+2q^2=p^2+18$, $p^2+4q^2=p^2+36$, $p^2+6q^2=p^2+54$になる.

ここで$p\neq 5$を仮定する.
$p$は素数より$p$は5で割り切れないので, $p=5k\pm 1$もしくは$p^2=5k\pm 2$ ($k$はある自然数)とおける.

• $p=5k\pm 1$のとき,
  $p^2+54=(5k\pm 1)^2+54=25k^2\pm 10k+55=5(5k^2\pm 2k+11)\gt 5$ (複合同順)
  より$p^2+54$は5の倍数で素数5と異なり矛盾.
• $p=5k\pm 2$のとき,
  $p^2+36=(5k\pm 2)^2+36=25k^2\pm 20k+40=5(5k^2\pm 4k+8)\gt 5$ (複合同順)
  より$p^2+36$は5の倍数で素数5と異なり矛盾.

以上より, $p^2+2q^2$, $p^2+4q^2$, $p^2+6q^2$がすべて素数になるような
素数$p$, $q$は, $p=5$, $q=3$しかないことが示された.

典型的な整数問題だと, 整数の2乗の余りについて,
・奇数の2乗を4でわった余りは1である
・3で割り切れない数の2乗を3でわった余りは1である
・5で割り切れない数の2乗を3でわった余りは1または4である
は結構頻出なので, 知っておくと問題を解くときの助けになることがあると思います.

なお, こういった余りに関する議論をする場合は,
合同式を利用すると比較的スマートに答案が書けると思います.
大学入試の問題でも, 合同式を使って解いたほうが見通しがつきやすい問題は多いです.

次回は理型第3問・文型第3問解説です。
お楽しみに。

それでは、最後までお読みいただき、ありがとうございました。
ではまた。