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2020年12月10日

【回顧】第2回垂れ流し数学模試 第4問解説

皆さんこんにちは!
TomoKです。

昨日の3問に引き続き、
今日は第2回垂れ流し数学模試の第4~6問解説記事を一気に公開いたします。

まずこの記事では第4問の解説をお送りします。


第4問



第4問は微積です。
有名な \dlim_{x\rightarrow +0}{x^{p}\log{x}}=0 (p>0) を証明し、
それをもとに面積の極限を求める問題です。

(1)(2)はちょっとクセがあるかもしれませんが、
この極限自体が有名なので、(3)は(1)(2)ができなくても求められると思います。

解答例



(1)「あるaがあって、すべてのx>0f(x)>a」を証明するので、
f(x)x>0における最小値を求めて、
それよりも小さいaを任意に指定すればよいです。

ただし、うまくaをとるとそれが(2)の足掛かりになります。
(2)は解答例では、pのときの極限を求めるときに、
(1)の\dfrac{p}{2}のときの不等式を使い、
さらに不等式の各辺にx^{p/2}\log{x}をかけて、
pのときのf(x)のはさみうちを完成しています。
ここは少し難しいかもしれませんが、たまに見る議論ではあります。

なお、(1)ではf(x)\geqq aではなくf(x)>aという形を導く問いにしました。
なぜf(x)\geqq aにしなかったんだろう…
出題時の私の不可解な疑問であります。

(3)は単にt\leqq x\leqq 1の範囲で定積分を計算して極限をとるだけですね。
ただ、この範囲では、(1)の増減表のとおりf(x)は常に負になるので、
非積分関数が-f(x)になることに注意してください。

ということで、今回はここまでです。
次記事は第2回垂れ流し数学模試の第5問解説です。

最後までお読みいただきありがとうございました。
ではまた!

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