【回顧】第2回垂れ流し数学模試 第4問解説

皆さんこんにちは!
TomoKです。

昨日の3問に引き続き、
今日は第2回垂れ流し数学模試の第4～6問解説記事を一気に公開いたします。

まずこの記事では第4問の解説をお送りします。

第4問

第4問は微積です。
有名な　$\dlim_{x\rightarrow +0}{x^{p}\log{x}}=0 (p>0)$　を証明し、
それをもとに面積の極限を求める問題です。

(1)(2)はちょっとクセがあるかもしれませんが、
この極限自体が有名なので、(3)は(1)(2)ができなくても求められると思います。

解答例



(1)「ある$a$があって、すべての$x>0$で$f(x)>a$」を証明するので、
$f(x)$の$x>0$における最小値を求めて、
それよりも小さい$a$を任意に指定すればよいです。

ただし、うまく$a$をとるとそれが(2)の足掛かりになります。
(2)は解答例では、$p$のときの極限を求めるときに、
(1)の$\dfrac{p}{2}$のときの不等式を使い、
さらに不等式の各辺に$x^{p/2}\log{x}$をかけて、
$p$のときの$f(x)$のはさみうちを完成しています。
ここは少し難しいかもしれませんが、たまに見る議論ではあります。

なお、(1)では$f(x)\geqq a$ではなく$f(x)>a$という形を導く問いにしました。
なぜ$f(x)\geqq a$にしなかったんだろう…
出題時の私の不可解な疑問であります。

(3)は単に$t\leqq x\leqq 1$の範囲で定積分を計算して極限をとるだけですね。
ただ、この範囲では、(1)の増減表のとおり$f(x)$は常に負になるので、
非積分関数が$-f(x)$になることに注意してください。

ということで、今回はここまでです。
次記事は第2回垂れ流し数学模試の第5問解説です。

最後までお読みいただきありがとうございました。
ではまた!