【回顧】第2回垂れ流し数学模試 第2問解説

皆さんこんにちは!
Tomokです。

今回は第2回垂れ流し数学模試の第2問解説を書きたいと思います。

第2問

第2問は題材は2次方程式ですが、整数問題です。
解と係数の関係に持ち込むのは常套手段ですが、
そこから整理してできた方程式をどう解くかがこの問題を解くカギとなります。

解答例


方程式の持つ整数解を$\alpha, \beta$と置いて、
2次方程式の解と係数の関係から$\alpha＋\beta$と$\alpha\beta$を求めます。
$\alpha, \beta$は整数ですが、$m$はたんなる実数なので、
$m$を消去して$\alpha, \beta$の2元2次の整数問題に帰着します。

さてここからです。
$\alpha^2+\alpha\beta+\beta^2-4\alpha-4\beta-17=0$
を整数の範囲で解きたいのですが、
よくある「多項式の積=整数」のかたちには変形できません。

何故なら、この左辺の2次の部分$\alpha^2+\alpha\beta+\beta^2$が
1次の多項式どうしに因数分解できないからです。

というのも、
$(ax+by+c)(dx+ey+f)$を展開した時の$x,y$の2次の項は
$adx^2+(ae+bd)xy+bey^2=(ax+by)(dx+ey)$になりますが、
このとき、$adx^2+(ae+bd)x+be=(ax+b)(dx+e)$の形ができて、
少なくともこの左辺を=0と置いた2次方程式の判別式は0以上でないといけません。

しかし、$\alpha^2+\alpha\beta+\beta^2$については、
$x^2+x+1=0$の判別式が$1^2-4\cdot 1\cdot 1=-3<0$となるため、
$\alpha^2+\alpha\beta+\beta^2$が1次の多項式に因数分解できず、
それゆえ、元の2次式$\alpha^2+\alpha\beta+\beta^2-4\alpha-4\beta-17=0$も
因数分解できません。

では、どう解くかというと、実は上の
「2次部分が判別式(?)<0」が解く上でのキーになります。
この場合には2つの解法が考えられます。

①一方の変数に関して整理して、2次方程式の解の公式を適用して、
　$\sqrt{　}$の中が整数の2乗(平方数)になるような値を探す
②両方の変数に関して平方完成し、$(\quad \quad )^2+(\quad \quad )^2=(整数)$の形を導く

まあ、①も②も本質的に変わりないんですが、、、

解答例では①を使っています。
$\sqrt{　}$内が0以上であることからとりうる変数値の範囲を絞れて、
さらにその範囲の整数値で、代入して$\sqrt{　}$内が整数の2乗になるような変数の値を調べます。

解答は$\beta$が絞れて、$\sqrt{　}$内が平方数(0含む)になる場合を求めています。
さらに求めた$\beta$の値を代入した時に$\alpha$も整数であるかどうか確かめます。
調べる値の範囲が広いので、ここでは表を使いました。

以上によって$\alpha, \beta$のありうる値の組が出てくるので、
そこから$m$の値を求めればOKです。

ちなみに、判別式(?)<0でなぜ上の①②の方法で解けるかを簡単に説明しましょう。
$px^2+qxy+ry^2+sx+ty+u=0$で$\green{q^2-4pr<0}$のときですよね。
$x$で整理しましょう。
$px^2+(qy+s)x+ry^2+ty+u=0$
これを$x$の2次方程式とみなして、その判別式$D$は
$D=(qy+s)^2-4p(ry^2+ty+u)=(\green{q^2-4pr})y^2+(2qs-4pt)y+s^2-4pu$
です。

この$D$を$y$の2次関数とみれば、
2次の係数が負なので$D$は上に凸の関数で、
これが0以上になる場合があるとすれば、ある値以上ある値以下の$y$に限られます。
さらに$y$が整数になれば有限個しかありませんし、
$D$が平方数となればさらに少なくなります。

で、解の公式から$x=\dfrac{-(qy+s)\pm \sqrt{D}}{2p}$ですから、
$D$が平方数となる$y$のうち、＋か－で$x$が整数になる様なものを探せば、
最終的に整数解$(x, y)$が求められる、という理屈です。
(平方完成でも、$(\quad \quad )^2+(\quad \quad )^2=(Dの正の数倍)$の形が出て
同じような理屈になります。気になる人はやってみてください。)

というわけで今回はここまでです。
次回記事は第2回垂れ流し数学模試の第3問解説です。

ここまでお読みいただきありがとうございました。
ではまた!