TomoKです。
今更ながら、いつまでたっても公開しないわけにもいきませんので、
第3回の開催めどが立ったこのタイミングで公開いたします。
今日12月9日はこの記事で取り上げている第1問のほかに、
第2問と第3問の記事も同時にＵPしています。
第2問と第3問の記事も同時にＵPしています。
楽しみにされていた方には、長らくお待たせしていて大変申し訳なく思います。
第3回では開催時期中に解答や解説を製作するつもりなので、
公開方法は変わるかもしれませんが、開催終了から長いことお待たせせずに解説記事をUPすることを目指します。
第3回垂れ流し模試は
12月12日(土)19：00～来年1月11日(月祝)23：59
の予定です。問題をお楽しみに!
それでは、第2回開催の1問目の解説です。
第1問は(1)と(2)で独立した小問になっています。
(1)解答例
(1)は空間ベクトルでした。
Iの座標を知るのですから、\vector{OI}を求めるのですが、
問題の設定にはAの座標が与えられており、
しかもIについてもAIが平面CFHに垂直と与えられていますので、
解き方として、しばらくはAを起点とするベクトルを中心に考えて、
まずは\vector{AI}を求めることを考えます。
A, B, D, Eの座標はすべて与えられており、
ABCD-EFGHが平行六面体であることからC, F, Hの座標もわかります。
特に\vector{AC}, \vector{AF}, \vector{AH}が分かることになります。
Iが問題の条件を満たす位置にいるのは、
(i) Iが平面EFGH上にあること
(ii) \vector{AI}が平面CFHに垂直であること
の2つが同時に成り立つことが必要十分です。
(i)からは、(*)のようにして、実数m, nを用いて、
\vector{AI}=(1-m-n)\vector{AE}+m\vector{AF}+n\vector{AH}
と表せます。
もちろん、この\vector{AE}, \vector{AF}, \vector{AH}が同一平面上になく、
しかもこれらのうちどの2本も平行でない、と必ず述べておきましょう(線型独立性)。
また(ii)からは、平面と直線の垂直の定義によって、
\vector{AI}が、平面CFH上の平行でない2本のベクトル、
例えば\vector{CF}と\vector{CH}のそれぞれと垂直になります。
いずれの直交性も「内積が0」という条件に置き換えられます。
あとは、(ii)の内積が0の2本立てを(1)を用いて具体的に計算して
m, nの方程式を2本連立させてm, nを求めます。
それをもとの(*)に代入すると、\vector{AI}が出てきます。
最後に\vector{OI}=\vector{OA}+\vector{AI}から\vector{OI}を求めれば、
Iの座標が分かります。
(2)解答例
(2)は数列でした。
添え字が2個あってとっつきづらいかもしれませんが、
それぞれの添え字に関する漸化式があるので、
それらを丁寧にといて、まず一般項\{a_{k, l}\}を求めます。
最初にa_{1,\,1}=1とa_{k+1,\,1}=a_{k,\,1}+kから、a_{k, 1}を求めます。
2番目の漸化式から、a_{k+1,\,1}-a_{k,\,1}=kなので、
これは階差数列から一般項を求める方法を使えばよさそうです。
なお、階差数列からa_{k, 1}=a_{1, 1}+\dsum_{j=1}^{k-1}kに持ち込むときには
シグマ記号の有効性からk>1すなわちk\geqq 2とすることに注意しましょう。
そのため、解答例でもk=1での成立を別個確認しています。
a_{k, 1}が分かれば、次は3番目の式a_{k,\,l+1}=a_{k,\,l}+kを使って
a_{k, l}を求めます。
こちらも変形すれば、a_{k,\,l+1}-a_{k,\,l}=kです。
ここで注意したいのは、kを固定した時、この式はlのみに関する漸化式なので、
特にこの式が、a_{k, 1}, a_{k, 2}, \cdotsが公差kの等差数列になっていることです。
これに気付けば、Σをつかわなくても、a_{k,\,l}=a_{k,\,1}+k(l-1)とできます。
あとはそこからa_{k,\,n-k}を求めてΣの計算をするだけですので、丁寧にいきましょう。
ということで今回はここまでです。
次記事は第2回垂れ流し数学模試の第2問の解説です。
最後までお読みいただきありがとうございました。
ではまた！
それでは、第2回開催の1問目の解説です。
第1問
第1問は(1)と(2)で独立した小問になっています。
(1)解答例
(1)は空間ベクトルでした。
Iの座標を知るのですから、\vector{OI}を求めるのですが、
問題の設定にはAの座標が与えられており、
しかもIについてもAIが平面CFHに垂直と与えられていますので、
解き方として、しばらくはAを起点とするベクトルを中心に考えて、
まずは\vector{AI}を求めることを考えます。
A, B, D, Eの座標はすべて与えられており、
ABCD-EFGHが平行六面体であることからC, F, Hの座標もわかります。
特に\vector{AC}, \vector{AF}, \vector{AH}が分かることになります。
Iが問題の条件を満たす位置にいるのは、
(i) Iが平面EFGH上にあること
(ii) \vector{AI}が平面CFHに垂直であること
の2つが同時に成り立つことが必要十分です。
(i)からは、(*)のようにして、実数m, nを用いて、
\vector{AI}=(1-m-n)\vector{AE}+m\vector{AF}+n\vector{AH}
と表せます。
もちろん、この\vector{AE}, \vector{AF}, \vector{AH}が同一平面上になく、
しかもこれらのうちどの2本も平行でない、と必ず述べておきましょう(線型独立性)。
また(ii)からは、平面と直線の垂直の定義によって、
\vector{AI}が、平面CFH上の平行でない2本のベクトル、
例えば\vector{CF}と\vector{CH}のそれぞれと垂直になります。
いずれの直交性も「内積が0」という条件に置き換えられます。
あとは、(ii)の内積が0の2本立てを(1)を用いて具体的に計算して
m, nの方程式を2本連立させてm, nを求めます。
それをもとの(*)に代入すると、\vector{AI}が出てきます。
最後に\vector{OI}=\vector{OA}+\vector{AI}から\vector{OI}を求めれば、
Iの座標が分かります。
(2)解答例
(2)は数列でした。
添え字が2個あってとっつきづらいかもしれませんが、
それぞれの添え字に関する漸化式があるので、
それらを丁寧にといて、まず一般項\{a_{k, l}\}を求めます。
最初にa_{1,\,1}=1とa_{k+1,\,1}=a_{k,\,1}+kから、a_{k, 1}を求めます。
2番目の漸化式から、a_{k+1,\,1}-a_{k,\,1}=kなので、
これは階差数列から一般項を求める方法を使えばよさそうです。
なお、階差数列からa_{k, 1}=a_{1, 1}+\dsum_{j=1}^{k-1}kに持ち込むときには
シグマ記号の有効性からk>1すなわちk\geqq 2とすることに注意しましょう。
そのため、解答例でもk=1での成立を別個確認しています。
a_{k, 1}が分かれば、次は3番目の式a_{k,\,l+1}=a_{k,\,l}+kを使って
a_{k, l}を求めます。
こちらも変形すれば、a_{k,\,l+1}-a_{k,\,l}=kです。
ここで注意したいのは、kを固定した時、この式はlのみに関する漸化式なので、
特にこの式が、a_{k, 1}, a_{k, 2}, \cdotsが公差kの等差数列になっていることです。
これに気付けば、Σをつかわなくても、a_{k,\,l}=a_{k,\,1}+k(l-1)とできます。
あとはそこからa_{k,\,n-k}を求めてΣの計算をするだけですので、丁寧にいきましょう。
ということで今回はここまでです。
次記事は第2回垂れ流し数学模試の第2問の解説です。
最後までお読みいただきありがとうございました。
ではまた！
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