【回顧】第2回垂れ流し数学模試 第3問解説

皆さんこんにちは!
TomoKです。
今回は第2回垂れ流し数学模試の第3問の解説です。

第3問

第3問は平面幾何です。
題材としては、三角形の傍接円・内接円・外接円の半径の関係です。

(1)はまあまあ簡単なほうだと思います。最低限これは解けてほしいですね。

(2)は1つには、外接円の半径と面積に、内接円の半径と面積と似た関係を見出すこと
(これは問題で与えたヘロンの公式がヒントになると思いますが)、
もう1つは式の整理を間違いなくやりきることです。
ヘロンの公式で登場する$s=\dfrac{a+b+c}{2}$をフル活用しましょう。
それで$r_{\rm A}+r_{\rm B}+r_{\rm C}-r_{\rm I}=\dfrac{abc}{s(s-a)(s-b)(s-c)}$までたどり着ければ、
ヘロンの公式と、あと有名な$S=\dfrac{abc}{4R}$を用いることで完成です。

この第3問が最後まで行けた人は、ある意味自分をほめてもいいと思います。

解答例




(1)はP(Aに対する傍心)から3辺(の延長)に垂線を下すことで、
それらの足がPを中心とする円周上にある(⇔Pからの距離が等しい)
ことが示されればほとんど終わりです。

(2)は傍接円の面積の関係を解答にあるように導きます。
この過程は内接円半径と面積の関係と同様に導きます。
有名な$S=\dfrac{1}{2}r(a+b+c)$の公式ですが、
導き方もしっかり理解しておきましょう。

このときに登場する$a+b+c,\ a+b-c,\ b+c-a,\ c+a-b$は
すべて$s=\dfrac{a+b+c}{2}$を用いて、$2s,\ 2(s-a),\ 2(s-b),\ 2(s-c)$となります。
よって$r_{\rm I}, r_{\rm A}, r_{\rm B}, r_{\rm C}$が$s$を用いて
割と簡単な式に表現できます。

あとは証明する式の左辺
$r_{\rm A}+r_{\rm B}+r_{\rm C}-r_{\rm I}$
を$s$を使ってひたすら計算しましょう。

上にも書きましたが、
$r_{\rm A}+r_{\rm B}+r_{\rm C}-r_{\rm I}=\dfrac{abc}{s(s-a)(s-b)(s-c)}$から先は、
ヘロンの公式と、$S=\dfrac{abc}{4R}$を用いることで完成です。
この$S=\dfrac{abc}{4R}$もよく知られていますが、
証明が自力でできるようになってほしいです。
公式を覚えるのみではなく、証明も理解することで、
なぜ成り立つか、どういうときに使えるのかまで確実に会得できますし、
証明を変更して似たような事柄を導き出せる可能性も増えてきます。

(とはいっても、内接円の半径や外接円の半径と面積の関係を
証明なしに使って減点されるかどうかは採点者によると思いますが。
私だったらこの程度で減点はしないかな…)

今回はここまでです。
次記事は明日12月10日21:00に、第2回垂れ流し数学模試の第4問解説を行います。

最後までお読みいただきありがとうございました。
ではまた!