【高校数学I】対称式(3変数の場合)

こんにちは、TomoKです。

前回は2変数x,yの対称式を考えましたが、
今日は似た話を3変数でやります。

3変数x,y,zを含む整式においては、
x,y,zのうちどの2つを入れ替えても等しくなるようなものを、
x,y,zの対称式といいます。

実はx,y,zのときも基本対称式があって、それらは
3つ全部の和　$\orange{s=x+y+z}$
3つのうち2つを選んだ積の和　$\green{t=xy+yz+zx}$
3つ全部の積　$\purple{u=xyz}$
の3つです。
x,y,zの3変数の対称式のときも、基本対称式のみで表すことができることが知られています。
(ただし、実際に表すのは2変数のときより難しいです。)

例えば、
$x^2+y^2+z^2$はx,y,zの対称式ですね。
これは前回と同様、$x+y+z$を2乗する方針で行けます。
展開の公式の(6)より
$(\orange{x+y+z})^2=x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx=x^2+y^2+z^2+2(\green{xy+yz+zx})$
となるので、
$x^2+y^2+z^2=(\orange{x+y+z})^2-2(\green{xy+yz+zx})={\orange{s}}^2-2\green{t}$
となります。

2乗はいいんですが、3乗はどうでしょう。
$x^3+y^3+z^3$はx,y,zの対称式ですが、
$(x+y+z)^3$を計算するのは大変です。

展開の公式や因数分解の公式で近い形はありませんでしたか?

...実はそれが、因数分解の公式(9)でした!
$x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)$
この公式を知っていると、非常に楽です。

これを使うとすると、$x^2+y^2+z^2$の結果は上でできているし、
$-xy-yz-zx=-(\green{xy+yz+zx})$ですから、
$\begin{align*} x^3+y^3+z^3-3\purple{xyz}&=(\orange{x+y+z})\{x^2+y^2+z^2-(\green{xy+yz+zx})\}\\ &=\orange{s}({\orange{s}}^2-2\green{t}-\green{t})\\ &=\orange{s}({\orange{s}}^2-3\green{t}) \end{align*}$
となるので、
$x^3+y^3+z^3=\orange{s}({\orange{s}}^2-3\green{t})+3\purple{u}$
となります。

この公式9は3文字の対称式がかかわるときにちょくちょく顔を出します。

今度は$x^4+y^4+z^4$です。これも難しいことになりますが、
とりあえず、さっき求めた$x^2+y^2+z^2$を2乗してみますか。
さっきも出てきた公式6より、
$(x^2+y^2+z^2)^2=x^4+y^4+z^4+2(x^{2}y^{2}+y^{2}z^{2}+z^{2}x^{2})$
したがって、
$x^4+y^4+z^4=(x^2+y^2+z^2)^2-2(x^{2}y^{2}+y^{2}z^{2}+z^{2}x^{2})\quad \cdots ①$
となりますね。
それゆえ、$x^{2}y^{2}+y^{2}z^{2}+z^{2}x^{2}$を基本対称式で表すことになります。

この$x^{2}y^{2}+y^{2}z^{2}+z^{2}x^{2}$は、$\green{xy+yz+zx}$を2乗すると項として出てきます。
再び公式6より、
$\begin{align*} (\green{xy+yz+zx})^2&=x^{2}y^{2}+y^{2}z^{2}+z^{2}x^{2}+2(xy\cdot yz+yz\cdot zx+zx\cdot xy)\\ &=x^{2}y^{2}+y^{2}z^{2}+z^{2}x^{2}+2(xy^{2}z+xyz^{2}+x^{2}yz) \end{align*}$
となります。
ここで、よく見ると最後の(　)はxyzでくくれて、
$(\green{xy+yz+zx})^2=x^{2}y^{2}+y^{2}z^{2}+z^{2}x^{2}+2\purple{xyz}(\orange{x+y+z})$
となります。ゆえ、
$\begin{align*} x^{2}y^{2}+y^{2}z^{2}+z^{2}x^{2}&=(\green{xy+yz+zx})^2-2\purple{xyz}(\orange{x+y+z})\\ &={\green{t}}^2-2\orange{s}\purple{u} \end{align*}$
となります。

これと、上で出した$x^2+y^2+z^2={\orange{s}}^2-2\green{t}$を①に代入すると、
$\begin{align*} x^4+y^4+z^4&=({\orange{s}}^2-2\green{t})^2-2({\green{t}}^2-2\orange{s}\purple{u})\\ &={\orange{s}}^4-4{\orange{s}}^{2}\green{t}+4{\green{t}}^2-2({\green{t}}^2-2\orange{s}\purple{u})\\ &={\orange{s}}^4-4{\orange{s}}^{2}\green{t}+2{\green{t}}^2+4\orange{s}\purple{u} \end{align*}$
となります。ずいぶん複雑ですね。

でも、「2乗」が項で出てくるときに、実際に2乗して、
邪魔な項を引くという操作をしているということは
頭に入れておいてください。
実際はs,t,uの値がわかっている状態でこのような操作をしていきます。

例題
EXQ1. 実数x,y,zが$\orange{x+y+z=1}, \green{xy+yz+zx=-3}, \purple{xyz=2}$をみたすとき、次の式の値を求めよ。

　(1) $x^2+y^2+z^2$　　(2) $x^{2}y^{2}+y^{2}z^{2}+z^{2}x^{2}$　　(3) $x^4+y^4+z^4$
　(4) $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}$

(1)は$x^2+y^2+z^2$が$(\orange{x+y+z})^2$の展開式の中に出てきます。
$(\orange{x+y+z})^2=x^2+y^2+z^2+2(\green{xy+yz+zx})$ですから、値の代入で、
${\orange{1}}^2=x^2+y^2+z^2+2\cdot (\green{-3})$　すなわち　$1=x^2+y^2+z^2-6$　となります。
よって、$x^2+y^2+z^2=1+6=\bold{7}$です。

(2)ですが、今度、$x^{2}y^{2}+y^{2}z^{2}+z^{2}x^{2}$は$(\green{xy+yz+zx})^2$の展開式の中に出てきますよね。
$\begin{align*} (\green{xy+yz+zx})^2&=x^{2}y^{2}+y^{2}z^{2}+z^{2}x^{2}+2(xy\cdot yz+yz\cdot zx+zx\cdot xy)\\ &=x^{2}y^{2}+y^{2}z^{2}+z^{2}x^{2}+2(xy^{2}z+xyz^{2}+x^{2}yz)\\ &=x^{2}y^{2}+y^{2}z^{2}+z^{2}x^{2}+2\purple{xyz}(\orange{x+y+z}) \end{align*}$
となるので、ここに値の代入をします。
$(\green{-3})^2=x^{2}y^{2}+y^{2}z^{2}+z^{2}x^{2}+2\cdot \purple{2}\cdot \orange{1}$
すなわち　$9=x^{2}y^{2}+y^{2}z^{2}+z^{2}x^{2}+4$
よって、$x^{2}y^{2}+y^{2}z^{2}+z^{2}x^{2}=9-4=\bold{5}$となります。

(3)は、これも$x^4+y^4+z^4$が$(x^2+y^2+z^2)^2$の展開式の中に現れることを使いますね。
$(x^2+y^2+z^2)^2=x^4+y^4+z^4+2(x^{2}y^{2}+y^{2}z^{2}+z^{2}x^{2})$
ここに(1)と(2)の結果を代入すれば、
$7^2=x^4+y^4+z^4+2\cdot 5$　すなわち　$49=x^4+y^4+z^4+10$　となるので、
$x^4+y^4+z^4=49-10=\bold{39}$　となります。

(4)ですが、これは通分して計算してみましょう。
$\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=\dfrac{yz}{xyz}+\dfrac{zx}{xyz}+\dfrac{xy}{xyz}=\dfrac{\green{xy+yz+zx}}{\purple{xyz}}=\dfrac{\green{-3}}{\purple{2}}=\bold{-\dfrac{3}{2}}$
となります。

練習問題
Q1. 実数x,y,zが$x+y+z=-3, xy+yz+zx=-1, xyz=4$のとき、次の式の値を求めよ。　　　[解答]
　(1) $x^2+y^2+z^2$　　(2) $x^3+y^3+z^3$　　(3) $(x+1)(y+1)(z+1)$
　(4) $\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{yz}+\dfrac{1}{zx}$　　(5) $\dfrac{z-1}{xy}+\dfrac{x-1}{yz}+\dfrac{y-1}{zx}$

と、いうわけで、
3月から始めた「数と式の扱い」の部分は今日でおしまいです。

ここまで学んだことが、今後いろんなところで出てくるはずです。
しっかり復習して、今後の数学の勉強に役立ててください。

次回の数学の記事からは「集合と論理」の部分に入ります。

ここも数学を考える上では非常に核となる部分です。

しかし高校数学らしいといえばらしいところで、
少し話が難しい、と思うところがあるかもしれません。

でも、いっしょに取り組んでいきながら、
一つ一つ理解していきましょう。

では、今回はここまでです。
お読みいただきありがとうございます。
ではまた!


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練習問題の答え

Q1.

(1) $(x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+zx)$より、$(-3)^2=x^2+y^2+z^2+2\cdot (-1)$
　よって、$9=x^2+y^2+z^2-2$　したがって、$x^2+y^2+z^2=\bold{11}$

(2) $x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)$を使って、(1)の結果も使うと、
　$x^3+y^3+z^3-3\cdot 4=(-3)\cdot \{11-(-1)\}$　すなわち　$x^3+y^3+z^3-12=-36$
　よって、$x^3+y^3+z^3=\bold{-24}$

(3) $(x+1)(y+1)(z+1)=xyz+xy+yz+zx+x+y+z+1$
　　$\phantom{(x+1)(y+1)(z+1)}=4+(-1)+(-3)+1=\bold{1}$

(4) $\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{yz}+\dfrac{1}{zx}=\dfrac{z}{xyz}+\dfrac{x}{xyz}+\dfrac{y}{xyz}=\dfrac{x+y+z}{xyz}=\bold{-\dfrac{3}{4}}$

(5) $\dfrac{z-1}{xy}+\dfrac{x-1}{yz}+\dfrac{y-1}{zx}=\dfrac{z(z-1)}{xyz}+\dfrac{x(x-1)}{xyz}+\dfrac{y(y-1)}{xyz}$
　　$\phantom{\dfrac{z-1}{xy}+\dfrac{x-1}{yz}+\dfrac{y-1}{zx}}=\dfrac{x(x-1)+y(y-1)+z(z-1)}{xyz}$
　　$\phantom{\dfrac{z-1}{xy}+\dfrac{x-1}{yz}+\dfrac{y-1}{zx}}=\dfrac{x^2+y^2+z^2-(x+y+z)}{xyz}$
　　$\phantom{\dfrac{z-1}{xy}+\dfrac{x-1}{yz}+\dfrac{y-1}{zx}}=\dfrac{11-(-3)}{4}=\bold{\dfrac{7}{2}}$