【第3回垂れ流し数学模試】第2問解説

皆さんこんにちは!
TomoKです。

今回は第3回垂れ流し数学模試の第2問の解説です。

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第2問

問題

1000以下の自然数を分母にもち, かつ0.38よりも大きい既約分数で, 最小のものを求めよ.

第2問は整数問題でした。
条件を満たす有理数の分母と分子にどんな関係がみられるかを考えるのがポイントでした。

解答のために考えること

0.38より大きい有理数を$\dfrac{m}{n}$ ($m$, $n$は自然数)とおくと、$\dfrac{m}{n}>0.38$から
$50m-19n>0$が成り立ちます。
ここで$50m-19n$は整数、特に自然数となるため、$50m-19n=1, 2, 3, \cdots$となる$(m, n)$を調べていけばよいことに気付きます。

$50m-19n=d$, $d$は自然数とおいて考えると、$\dfrac{m}{n}=0.38+\dfrac{d}{50n}$となるので、
この$\dfrac{d}{50n}$が最小になるような$(m, n)$を求めればよいことになりますね。

解答

$0.38$より大きい有理数を$\dfrac{m}{n}$ ($m$, $n$は自然数)とおくと、
$\dfrac{m}{n}>0.38=\dfrac{19}{50}$より、$50m-19n>0$

ここで$50m-19n$は整数かつ正、すなわち自然数である。
$50m-19n=d$とおけば、 \[\dfrac{m}{n}-\dfrac{19}{50}=\dfrac{d}{50n}\] よって、$\dfrac{d}{50n}$が最小になるような$m, n, d$を求めればよい。

$d=1$のとき、$50m-19n=1$となる$(m, n)$を求めると、
$50(m-8)=19(n-21)$
$50$, $19$は互いに素だから、$m-8$は19で割り切れ、
$k$を整数として$m-8=19k$, ゆえ$m=19k+8$
このとき$50\cdot 19k=19(n-21)$より、$n=50k+21$

この場合、$\dfrac{d}{50n}=\dfrac{1}{50n}$が最小になるのは、$n$が最大になる場合である。
$n=50k+21\leqq 1000$より$k\leqq \dfrac{979}{50}$だが、$k$は整数より$k\leqq 19$。
$k$が大きいほど$n$は大きいので、$n$の最大は、$n=50\cdot 19+21=971$
このとき$m=19\cdot 19+8=369$

$d\geqq 2$のとき、$n\leqq 1000$であることから、
$\dfrac{d}{50n}\geqq \dfrac{2}{50\cdot 1000}=\dfrac{1}{50\cdot 500}\gt\dfrac{1}{50\cdot 971}$
となるため、上で求めた$d=1$, $n=971$の場合の$\dfrac{d}{50n}$を下回ることはない。

$369$と$971$は互いに素であるので(※1)、求める既約分数は、$\bold{\dfrac{369}{971}}$

$\dfrac{d}{50n}$を最小にしておけば、$0.38=\dfrac{19}{50}$に最も近づくはずですが、
$n$は$d=1$のときには(実はそうでなくとも)500より大きく取れて、
$d=1$の時はもちろん、$d\geqq 2$のものを含めたとしても
$d=1$で$n$最大の時に最も近づく、という論理になります。

(※1)でさりげなく「369と971は互いに素」と書きましたが、
これは素因数分解しなくてもわかります。
だって、この2つの数は$50m-19n=1$の解として出てきたのですから。

ちなみに答えの$\dfrac{369}{971}$ですが、 \[\dfrac{369}{971}=0.3800205973223\cdots\] ははぁ、これにはもうかないません。。。
こんなに0.38に近ければ文句も出ません。

ということで、今回の記事はここまでです。
最後までお読みいただき、ありがとうございました。
ではまた。