【高校数学I】必要条件と十分条件

皆さんこんにちは!
TomoKです。

前回までにいろいろな条件や命題を見てきたわけですが、
2つの条件$p,q$に対して、それらの「成り立つ」「成り立たない」の関係を見るのに、
「必要条件」と「十分条件」という考え方を使います。

定義
2つの条件$p,q$について、
(i) $p\Rightarrow q$が成り立つとき、$p$は$q$であるための十分条件であるという。
(ii) $q\Rightarrow p$が成り立つとき、$p$は$q$であるための必要条件であるという。

$p\Rightarrow q$が成り立つときは、
$p$という条件があれば、$q$という条件が成り立つのに十分である、
という意味合いで、「$p$は$q$であるための十分条件」というわけです。

次に、$q\Rightarrow p$が成り立つときは、
$q$という条件を成り立たせるためには、少なくとも$p$という条件が必要である、
という意味合いで、「$q$は$p$であるための必要条件である」というわけです。

だいぶどっちがどっちだか迷うかもしれません。
この記事を書いている私もここのところは結構わかるのに時間がかかった覚えがあります。

上のことを図でかいてみます。
ただし、この図では「$q\Rightarrow p$」のことを「$p\Leftarrow q$」と表しています。

「は」から「であるための」に向かう矢印が成り立つのは十分条件
「であるための」から「は」に向かう矢印が成り立つのは必要条件
です。

有名な覚え方で下のようなものがあります。

これを最初に思いついた人ってなかなかセンスあるような気がします。

注意しなければならないのは、
「は」「ための」の位置を合わせておかないとならないことです。
必ず、「は」は左、「ための」は右において考えます。

ともかく、「十分条件」と「必要条件」が逆にならないように覚えておきましょう。

定義
2つの条件$p,q$について、$p$が$q$であるための十分条件かつ必要条件であるとき、
すなわち、$p\Rightarrow q$かつ$q\Rightarrow p$が成り立つとき、
$p$は$q$であるための必要十分条件である、または$p$と$q$は同値であるといい、
$p\Leftrightarrow q$で表す。

一般には、$p\Rightarrow q$が仮に成り立っても、その逆の$q\Rightarrow p$が成り立つとは限りません。
しかし、$p\Rightarrow q$と$q\Rightarrow p$の両方が成り立った場合は、
$p$と$q$の条件は同じときに成り立つと考えてよいわけです。
その時、$p$は$q$であるための必要かつ十分な条件となり、
それを$p$と$q$は同値であるということがある、というわけです。

例題
EXQ1. 次の[    ]にあてはまる最も適切なものを、次の①～④から選べ。
　　①必要条件ではあるが、十分条件ではない
　　②十分条件ではあるが、必要条件ではない
　　③必要十分条件である
　　④必要条件でも十分条件でもない

　(1) 実数$x$について、$x=1$であることは、$x^2=1$であるための[    ]。
　(2) 整数$a$について、$a^2$が4の倍数であることは、$a$が4の倍数であるための[    ]。
　(3) 自然数$p$について、$p$が素数であることは、$p$が奇数であるための[    ]。

よくある問題です。
「は」のついたほうの条件を左に、「ための」のついたほうの条件を右において、
$\green{十}\rightleftarrows \orange{要}$ですね。

(1)をこの図式にあてはめると
$\green{x=1}\rightleftarrows \orange{x^2=1}$となります。

・$\green{x=1}\Rightarrow \orange{x^2=1}$は$1^2=1$より真です。
 「十」のほうから出ている→がOKなので、十分性はあります。

・$\green{x=1}\Leftarrow \orange{x^2=1}$
 すなわち$x^2=1\Rightarrow \green{x=1}$はどうかというと、
 $x^2=1$から出てくるのは$x=1,-1$の2つがあるので、 $x=-1$を反例として偽です。
 「要」のほうから出ている←がNGですので、必要性はありません。

以上のことから、(1)の[   ]に入るのは、②だとわかります。

同じようにして(2)(3)を調べます。

(2)の図式は
$\green{a^{2}が4の倍数}\rightleftarrows \orange{aが4の倍数}$

・$\green{a^{2}が4の倍数}\Rightarrow \orange{aが4の倍数}$を考えると、
 $a=2$のとき、$a^2=4$は4の倍数だが、$a=2$は4の倍数でないから、 $a=2$を反例として偽
 「十」のほうから出ている→がNGだから、十分性はなし。

・$\green{a^{2}が4の倍数}\Leftarrow \orange{aが4の倍数}$
 すなわち$aが4の倍数\Rightarrow a^{2}が4の倍数$は、
 $a=4k$($k$は整数)とおくと、$a^2=(4k)^2=16k^2=4\cdot 4k^2$は4の倍数　よって真
 「要」のほうから出ている←がOKだから、必要性はあり。

以上のことから、(2)の[   ]に入るのは、①

(3)の図式は
$\green{pが素数}\rightleftarrows \orange{pが奇数}$

・$\green{pが素数}\Rightarrow \orange{pが奇数}$は、
 $p=2$は素数だが奇数でないから、$p=2$を反例として偽
 「十」のほうから出ている→がNGだから、十分性はなし。

・$\green{pが素数}\Leftarrow \orange{pが奇数}$　すなわち$pが奇数\Rightarrow pが素数$は、
 $p=9$は奇数だが素数でない($9=3^2$)ので、$p=9$を反例として偽
 「要」のほうから出ている←がNGだから、必要性もなし。

以上のことから、(3)の[   ]に入るのは、④

練習問題
Q1. 次の[    ]にあてはまる最も適切なものを、次の①～④から選べ。　　　[解答]
　　①必要条件ではあるが、十分条件ではない
　　②十分条件ではあるが、必要条件ではない
　　③必要十分条件である
　　④必要条件でも十分条件でもない

(1) 整数$a$について、$a$が3の倍数であることは、$a$が6の倍数であるための[    ]。
　(2) 実数$x$について、$2\leqq x<5$であることは、$x>0$であるための[    ]。
　(3) 四角形ABCDについて、
　　AB=BC=CD=DAであることは、∠A=∠B=∠C=∠Dであるための[    ]。
　(4) 自然数$n$に対し、
　　$n$が40と60の公約数であることは、$n$が20の約数であるための[    ]。
　(5) 2つの実数$x,y$について、$xy=0$であることは、$x=0$かつ$y=0$であるための[    ]。

さて、論理に関する事柄を知ったところで、それらを使わなければあまり意味をなしません。
次回以降は、その「実際に使ってみる」ところをやることになります。
つまり、いろいろな命題が正しいことを論理的に証明する方法を考えていきます。

もちろん、そのまま証明するのができればそのほうがいいのですが、
場合によってそれが難しいこともあるので、
そんな時、ほかにどういった手段が使えるのかを見ていくことにしましょう。

今日はここまでです。
お読みくださってありがとうございました。
ではまた!


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練習問題の答え

Q1.

(1)①　($\Rightarrow$は$a=3$が反例で偽, $\Leftarrow$は$a=6k=3\cdot 2k$($k$は整数)より真)
(2)②　($\Rightarrow$は$0<2\leqq x<5$より真, $\Leftarrow$は$x=1$が反例で偽)
(3)④　($\Rightarrow$は1つの角が60°のひし形が反例で偽, $\Leftarrow$はAB=3cm, BC=5cmの長方形が反例で偽)
(4)③　($\Rightarrow$は40と60の最大公約数が20だから真(*), $\Leftarrow$は40と60がともに20で割り切れるので真)
 (*)一般に、2つの自然数$a,b$について、$a,b$の公約数は$a,b$の最大公約数の約数であることが成り立つ。
(5)①　($\Rightarrow$は$x=0,y=1$が反例で偽, $\Leftarrow$は$0\cdot 0=0$より真)