【高校数学I】逆・裏・対偶と対偶証明法

皆さんこんにちは!
TomoKです。

今回はまず、命題$p\Rightarrow q$から「形式的に」作られるいくつかの命題について取り上げます。

(補足：この記事を公開後、一部誤りがあるとの指摘を受け、
公開当日中に確認し、訂正をしました。ご指摘くださった方に御礼申し上げます。
その他不具合も確認したので訂正しました。以下は訂正後の内容です)

[1]　逆・裏・対偶

命題$p\Rightarrow q$に対し、
　　　　　　　　　　　　　$q\Rightarrow p$を、$p\Rightarrow q$の　逆
　　　　　　　　　　　　　$\overline{p}\Rightarrow \overline{q}$を、$p\Rightarrow q$の　裏
　　　　　　　　　　　　　$\overline{q}\Rightarrow \overline{p}$を、$p\Rightarrow q$の　対偶
と呼びます。

逆は文字どおり"$\Rightarrow$"の前後を逆にしたものです。

裏は"$\Rightarrow$"の前後でそのまま否定をとったものです。

対偶は、"$\Rightarrow$"の前後を入れ替えて、さらに否定をとったものです。
したがって、「対偶は逆の裏」になっています。

さて、逆・裏・対偶の真偽がどうなるのかについて、次の例題で見てみましょう。

例題
EXQ1. 次の命題の真偽を調べよ。また、逆・裏・対偶を作って、それらの真偽を調べよ。

「実数$x$について, $x>0$ならば$x^2>0$である」

まず、元の命題は、正の数の2乗は必ず正だから、真です。

次に、逆・裏・対偶を順番に調べていきましょう。

逆は、「ならば」の前後を入れ替えるので、
「(2つの実数$x,y$に対して,) $\bold{x^2>0}$ならば$\bold{x>0}$」
となります。
これは、たとえば$x=-1$を反例として偽となります。
$x=-1$ならば、$x^2=(-1)^2=1>0$となるからです。

続いて裏ですが、今度はもとの「ならば」の前後の否定をとりますから、
「(2つの実数$x,y$に対して,) $\bold{x\leqq 0}$ならば$\bold{x^2\leqq 0}$」
となります。
これも、同じく$x=-1$のときが反例になって、偽になります。

最後。対偶ですが、「ならば」の前後を入れ替えてそれぞれの否定をとるので、
「(2つの実数$x,y$に対して,) $\bold{x^2\leqq 0}$ならば、$\bold{x\leqq 0}$」
となります。
これは、$x^2\leqq 0$となるのは、$x=0$のときだけです。
($x\neq 0$なら、必ず$x^2>0$になりますよね)
そして$x=0$ならたしかに$x\leqq 0$が言えますから、真です。

この例題の命題のように、命題「$p\Rightarrow q$」については、
・もとの命題が真であっても、その逆が必ずしも真になるとは限らない
ことに注意しましょう。

ですが、実は次のことが必ず言えます。

対偶の真偽
命題$p\Rightarrow q$と、その対偶$\overline{q}\Rightarrow \overline{p}$の真偽は一致する。

確かに、上の例題でも、もとの命題は真で、対偶も真でした。

これは、$p,q$の成り立つような$x$の集合を考えることで説明できます。

仮に、$p\Rightarrow q$が成り立っていたとしましょう。
考える全体集合を$U$とし、そのうち$p,q$の成り立つような$x$の集合をそれぞれ$P,Q$とすると、
$p\Rightarrow q$が成り立つので、$P\subset Q$になります。
ここで、$P,Q$の補集合を考えると、位置が逆転して$\overline{Q}\subset \overline{P}$が言えますが、
これは$\overline{q}\Rightarrow \overline{p}$が成り立つことにほかなりません。

したがって、もとの命題が真ならば、その対偶も真になることがわかりました。

一方、いまの下線部が真であることがわかったので、下線部の対偶をとることで、
「対偶が偽ならば、もとの命題が偽」が言えます。
したがって、もとの命題が偽のときは、対偶の対偶がもとの命題に戻ることを考えて、
対偶が偽であることがわかります。

以上から、もとの命題と対偶は真偽が一致することがわかりました。

ところで、逆と裏の関係も対偶どうしなので、ある命題の逆と裏の真偽も一致します。

練習問題
Q1. 次の命題の真偽を答えよ。
　　また、それぞれの逆・裏・対偶を作り、それらの真偽を答えよ。　　　[解答]
　(1) 実数$x$について、$x=0\Rightarrow x^2=0$
　(2) 整数$n$について、$n$が6の倍数$\Rightarrow n$が3の倍数
　(3) 整数$n$について、$n^2$が4の倍数$\Rightarrow n$が4の倍数

[2] 対偶証明法

さて、もとの命題とその対偶との真偽が一致するので、
・命題$p\Rightarrow q$を示すのに、その対偶$\overline{q}\Rightarrow \overline{p}$を示してもよい
ということが言えます。
これは、命題$p\Rightarrow q$を直接導くことが難しい場合に利用されることがあります。

例題
EXQ2. 実数$x,y$について、
　　$x+y\neq 4$ならば、$x\neq 2$または$y\neq 2$であることを証明せよ。

これは、そのまま$x+y\neq 4$からはじめて、$x\neq 2$または$y\neq 2$を示すのは極めて難しいです。
そこで、この命題の対偶を考えます。
$x\neq 2$または$y\neq 2$の否定は「$x=2$かつ$y=2$」になることを注意すると、
命題の対偶は、「$x=2$かつ$y=2$ならば、$x+y=4$」となりますね。
これだったら簡単です。$2+2=4$ですから。

したがって、改めてこの命題の証明を清書すると、次のようになります。

[証明]
示すべき命題の対偶は、「$x=2$かつ$y=2$ならば、$x+y=4$」であるが、
$x=2$かつ$y=2$ならば、$x+y=2+2=4$である。
したがって、対偶が示されたので、示すべき命題が成り立つことも示された。　(終)

まず、対偶がどうなるかを記し、その対偶を示します。
最後は、対偶が示されたので、もとの命題が成り立つことを言えば、完結します。

練習問題
Q2. 対偶を証明することにより、次のことを証明せよ。　　　[解答]
　(1) 実数$x$について、$x^2\neq 1$ならば、$x\neq 1$である。
　(2) 整数$a$について、$a^2$が偶数ならば、$a$も偶数である。

次回も、対偶証明とはまた別の、直接でない証明の方法を紹介したいと思います。

では、今回はここまで。
お読みくださりありがとうございました。
ではまた!


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練習問題の答え

Q1.

(1) もとの命題は、$x^2=0^2=0$より真
　逆は「$x^2=0\Rightarrow x=0$」　$x^2=0$の両辺の平方根をとれば、$x=0$　よって真　
　裏は「$x\neq 0\Rightarrow x^2\neq 0$」　
　　　　$x\neq 0$なら、$x$は正または負だから、$x^2>0$　よって真
　対偶は「$x^2\neq 0\Rightarrow x\neq 0$」
　　　　　$x^2\neq 0$なら、$x^2>0$　正の数の平方根に0は含まれないから、$x\neq 0$　よって真
　　(もちろん、もとの命題が真だから対偶も真、といってもよい。)

(2) もとの命題は、$n=6k$($k$は整数)なら$n=3\cdot 2k$だから、真
　逆は「$n$が3の倍数$\Rightarrow n$が6の倍数」　$n=3$を反例として偽　
　裏は「$n$が6の倍数でない$\Rightarrow n$が3の倍数でない」　$n=3$を反例として偽
　対偶は「$n$が3の倍数でない$\Rightarrow n$が6の倍数でない」
　　　　　もとの命題が真なので、真
　　(これをそのまま示すのは結構大変。この問題は逃げ…　自信がある人は直接示してみて)

(3) もとの命題は、$n=2$のとき、$n^2=4$が4の倍数だが、$n=2$は4の倍数でないので、
　　$n=2$を反例として偽
　逆は「$n$が4の倍数$\Rightarrow n^2$が4の倍数」
　　　　　$n=4k$($k$は整数)なら、$n^2=16k^2=4\cdot 4k^2$は4の倍数　よって真　
　裏は「$n^2$が4の倍数でない$\Rightarrow n$が4の倍数でない」
　　　　　これは逆の対偶であるから、真
　　　(これを直接示すのは難しいが、「素因数分解の一意性」があればいける)
　対偶は「$n$が4の倍数でない$\Rightarrow n^2$が4の倍数でない」
　　　　　もとの命題が偽なので偽だが、反例も同じく$n=2$

Q2.

(1) 示すべき命題の対偶は、「$x=1$ならば$x^2=1$」だが、$x=1$ならば$x^2=1^2=1$である。
　よって、対偶が示されたので、示すべき命題が成り立つことが示された。　(終)

(2) 示すべき命題の対偶は、「$a$が奇数ならば$a^2$は奇数」である。
　$a$が奇数であれば、ある整数$k$を用いて、$a=2k+1$と書けるが、
　$a^2=(2k+1)^2=4k^2+4k+1=2(2k^2+2k)+1$であり、
　$2k^2+2k$が整数だから、$a^2$は奇数である。
　よって、対偶が示されたので、示すべき命題が成り立つことが示された。　(終)