【高校数学I,II】因数分解(3)

皆さん、こんにちは!
TomoKです。

前々回と前回で、
乗法の公式の逆を用いた
因数分解の方法を書きました。

今回は、
より工夫して因数分解を行う方法を
書きたいと思います。

今日からは応用編といった感じです。
次回で因数分解の話はとりあえず一区切りにしますが、
とりあえず今回までの技法は
できれば身に着けてほしいと思います。

では、今回の内容に入ります。

[1] 共通因数でくくる

共通因数があれば、
まず最初に共通因数をくくって、
残ったところをさらに因数分解する、
という方針をとると楽です。

例えば、
$4x^2-16x+12$を因数分解するとき、
2次式だから、最初から「たすき掛け」してもいいんですが、
それよりも、係数がすべて4で割り切れるところを見て、
まず4でくくると、
$\begin{align*} 4x^2-16x+12&=\red{4}\cdot x^2-\red{4}\cdot 4x+\red{4}\cdot 3\\ &=\red{4}(x^2-4x+3) \end{align*}$
となります。

そこで、$x^2-4x+3$がさらに
公式2の形で因数分解できますので、
$\quad 4x^2-16x+12\\ =\red{4}(x^2-4x+3)\\ =4(x-1)(x-3)$
となるわけです。

なお、
因数分解の問題では、
(　)の中がそれ以上因数分解できない形になるまで
因数分解をするのが普通です。

(ただし、どこまで因数分解できるか、というのは、
整式の係数をどんな数まで扱うかによって変わります。
しかし、当面は、有理数の範囲、
すなわち、係数に整数と分数しか出てこない範囲で
できる限り因数分解するものとします。)

練習問題
Q1. 次の式を因数分解せよ。　　　[解答]
　(1) $2x^2+16x+32$　　(2) $-3x^2-2xy+y^2$
　(3) $ax^2+3ax-10a$　　(4) $81y^4-24y$

[2] 置き換え

展開のとき同様に、
繰り返し出てくる場合や、
見た目を整える場合などに
置き換えを利用することがあります。

例題
EXQ1. 次の式を因数分解せよ。
　(1) $x^4-2x^2+1$　　(2) $(x^2+3x)^2-(x^2+3x)-6$　　(3) $(x+1)^2-(y-2)^2$

では、始めましょうか。

(1)は$x^4$と$x^2$の項があるので、
とりあえず$x^4=(x^2)^2$と考えて、
$\red{A=x^2}$とおくと、
$\begin{align*} x^4-2x^2+1&=(\red{x^2})^2-2\red{x^2}+1\\ &=\red{A}^2-2\red{A}+1\quad \quad \leftarrow 公式3'\\ &=(\red{A}-1)^2 \end{align*}$
となります。

そしてさらにこの$\red{A}$をもとに戻すと、
もう1回因数分解ができることがわかりますね。
$\begin{align*} x^4-2x^2+1&=(\red{x^2}-1)^2\quad \quad \leftarrow (\quad )内に公式4\\ &=\{(x+1)(x-1)^2\}\\ &=\boldsymbol{(x+1)^{2}(x-1)^{2}} \end{align*}$

上のように置き換えを使えば
因数分解ができる場合が非常に増えるわけですが、
展開のとき同様に、慣れてくると、
「塊」を作ってそのまま公式に持ち込むことができます。

以下の解答、少し意地悪ですが、
置き換えずに「塊」を意識して変形していきます。
慣れない方は、「塊」とした部分を文字で置き換えると
少しはわかりやすくなるかと思います。

やはり、ここらへんは、
自分で考えながら手を動かして
理解してから読み進めるのが早道だと思います。

では、例題の(2)ですが、
これははっきりしていて、
$\blue{(x^2+3x)}$を塊にして考えます。
$\quad \blue{(x^2+3x)}^2-\blue{(x^2+3x)}-6\quad \quad \leftarrow \blue{(x^2+3x)}を塊として公式2\\ =\{\blue{(x^2+3x)}+2\} \{\blue{(x^2+3x)}-3\}\\ =(x^2+3x+2)(x^2+3x-3)\quad \quad \leftarrow 左の(\quad )に公式2\\ =\boldsymbol{(x+1)(x+2)(x^2+3x-3)}$

(3)ですが、
こちらは同じものが出てくるわけではないですが、
2乗-2乗の形なので、
$\orange{(x+1)}$と$\purple{(y-2)}$をそれぞれ塊とみれば、
公式4が使えます。
$\quad \orange{(x+1)}^2-\purple{(y-2)}^2 \quad \quad \leftarrow \orange{(x+1)}と\purple{(y-2)}を塊として公式4\\ =\{\orange{(x+1)}+\purple{(y-2)}\} \{\orange{(x+1)}-\purple{(y-2)}\}\\ =(x+1+y-2)(x+1-y+2)\\ =\boldsymbol{(x+y-1)(x-y+3)}$

練習問題
Q2. 次の式を因数分解せよ。　　　[解答]
　(1) $x^4-y^4$　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(2) $(x^2-5)^2-3(x^2-5)-4$
　(3) $(2x^2+5x-5)(2x^2+5x+1)-16$　　(4) $(x+1)^3-8y^3$

[3] 項を組み合わせる

式の中で、部分的な因数分解を行うため、
項をいくつか組み合わせる
という手段をとることもあります。

次の例題を見て考えましょう。

例題
EXQ2. 次の式を因数分解せよ。
　(1) $xy-3x+5y-15$　　(2) $x^2-9y^2+4x+4$　　(3) $x^3-xy(x+y)+y^3$

では、(1)から行きます。
これは前の2項$xy-3x$はいずれも$x$がついていて、
この部分だけ$x$でくくると、
$xy-3x=x\green{(y-3)}$
となります。

一方、
後ろの2項$5y-15$は$x$がついていませんが、
係数を見るとこの部分については5でくくれて、
$5x-15=5\green{(y-3)}$
となります。
あれ?　両方に$\green{(y-3)}$が出てきましたねぇ。

ということは、最後に$\green{(y-3)}$を塊として
共通因数としてくくりだせばいいわけですね。
したがって、(1)については、
$\begin{align*} xy-3x+5y-15&=x\green{(y-3)}+5\green{(y-3)}\\ &=\boldsymbol{(x+5)\green{(y-3)}} \end{align*}$
となります。

次に(2)ですが、
まず、どの項を組み合わせるとよさそうか考えます。
よく見ると、
$x^2+4x+4=(x+2)^2$
$-9y^2=-(3y)^2$
と組み合わせると、2乗-2乗の形が作り出せますね。
よって、(2)は次のように因数分解できます。
$\begin{align*} x^2-9y^2+4x+4&=(x^2+4x+4)-9y^2\\ &=(x+2)^2-(3y)^2 \quad \quad \leftarrow (x+2), (3y)を塊として公式4\\ &=\{(x+2)+3y\} \{(x+2)-3y\}\\ &=\boldsymbol{(x+3y+2)(x-3y+2)} \end{align*}$

因数分解は、結果的に、
共通因数をくくるか、公式を使うかということになるので、
項を組み合わせる場合には、
・式全体に共通因数が出てくる組み合わせであるか?
または
・式全体に公式に当てはまる形ができる組み合わせか?
ということを考えましょう。

(3)も同様です。
今度も、上の2点に着目して考えますと、
$x^3+y^3=\blue{(x+y)}(x^2-xy+y^2)$
と$-xy\blue{(x+y)}$の組み合わせにすると、
式全体で$\blue{(x+y)}$でくくれることがわかります。
$\begin{align*} x^3-xy(x+y)+y^3&=(x^3+y^3)-xy(x+y) \quad \quad \leftarrow (x^3+y^3)に公式8\\ &=\blue{(x+y)}(x^2-xy+y^2)-xy\blue{(x+y)}\\ &=\blue{(x+y)}\{(x^2-xy+y^2)-xy\}\\ &=(x+y)(x^2-2xy+y^2) \quad \quad \leftarrow 右の(\quad )に公式3'\\ &=\boldsymbol{(x+y)(x-y)^2} \end{align*}$
となります。

練習問題
Q3. 次の式を因数分解せよ。　　　[解答]
　(1) $6xy+4x-9y-6$　　(2) $a^{2}c^{2}-4a^{2}d^{2}-9b^{2}c^{2}+36b^{2}d^{2}$
　(3) $x^3+x^2-x-1$　　(4) $4x^2+y^2-z^2+4xy$
　(5) $x^2+x-y-y^2$　　(6) $(x-3y)^3-x^{2}y+9y^3$

(6)はちょっと難しいかな?
でも、上の太字で示してある2つのことに気を付けて、
やってみてください。

次回はラストスパートです。

今の上の問題では、
たまたま運よく
項を組み合わせて共通因数をうまく作って…
といきました。

しかし、
まれに式が整いすぎて
共通因数が見つかりにくい場合もあります。
その場合の因数分解の工夫を
お話ししたいと思います。

今回までの学習がフルに活用されますので、
次回いつ更新かはわかりませんが、
それまでによく復習してくださいね。

まあ次回は数学になるか標識になるかは
やはりまだ未定ということで。
次回更新までのお楽しみです!

では、今日はここまで。
お読みくださりありがとうございました。
ではまた!

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練習問題の答え

Q1.

(1) $2(x+4)^2$　　(2) $-(x+y)(3x-y)$

(3) $a(x-2)(x+5)$　　(4) $3y(3y-2)(9y^2+6y+4)$

Q2.

(1) $(x^2-y^2)(x^2+y^2)=\boldsymbol{(x-y)(x+y)(x^2+y^2)}$

(2) $\quad \{(x^2-5)-4\} \{(x^2-5)+1\}=(x^2-9)(x^2-4)$
　　$=\boldsymbol{(x+3)(x-3)(x+2)(x-2)}$

(3) $(2x^2+5x)^2-4(2x^2+5x)-5-16=(2x^2+5x)^2-4(2x^2+5x)-21$
　　$\phantom{(2x^2+5x)^2-4(2x^2+5x)-5-16}=(2x^2+5x-7)(2x^2+5x+3)$
　　$\phantom{(2x^2+5x)^2-4(2x^2+5x)-5-16}=\boldsymbol{(x-1)(2x+7)(x+1)(2x+3)}$
　※ただし、個人的には$(x-1)(x+1)(2x+3)(2x+7)$と並び替えたほうが順番としてしっくりくるような気がする。

(4) $\quad \{(x+1)-2y\} \{(x+1)^2-(x+1)\cdot 2y+(2y)^2\}$
　　$=\boldsymbol{(x-2y+1)(x^2-2xy+4y^2+2x-2y+1)}$

Q3.

(1) $2x(3y+2)-3(3y+2)=\boldsymbol{(2x-3)(3y+2)}$

(2) $a^{2}(c^{2}-4d^{2})-9b^{2}(c^{2}-4d^{2})=(a^2-9b^2)(c^2-4d^2)$
　　$\phantom{a^{2}(c^{2}-4d^{2})-9b^{2}(c^{2}-4d^{2})}=\boldsymbol{(a+3b)(a-3b)(c+2d)(c-2d)}$

(3) $x^2(x+1)-(x+1)=(x^2-1)(x+1)=(x-1)(x+1)(x+1)$
　　$\phantom{x^2(x+1)-(x+1)}=\boldsymbol{(x-1)(x+1)^2}$

(4) $(4x^2+4xy+y^2)-z^2=(2x+y)^2-z^2=\boldsymbol{(2x+y+z)(2x+y-z)}$

(5) $(x^2-y^2)+(x-y)=(x+y)(x-y)+(x-y)=\boldsymbol{(x+y+1)(x-y)}$
　
(6) $(x-3y)^3-y(x^2-9y^2)=(x-3y)^3-y(x+3y)(x-3y)$
　　$\begin{align*} \phantom{(x-3y)^3-y(x^2-9y^2)}&=(x-3y)\{(x-3y)^2-y(x+3y)\}\\ &=(x-3y)(x^2-6xy+9y^2-xy-3y^2)\\ &=(x-3y)(x^2-7xy+6y^2)\\ &=\boldsymbol{(x-3y)(x-y)(x-6y)} \end{align*}$