【高校数学I】命題と条件

皆さんこんにちは!
TomoKです。

今回からは、数学を考えるために大事な考え方である「論理」の勉強をします。

その最初として、「命題」とか「条件」とは何か、ということを見ていきます。

次の3つの文を考えましょう。

①　100は10より大きい。
②　100は1000より大きい。
③　100は大きい数である。

①,②,③のそれぞれの文が正しいか正しくないか、ということを考えます。

当然、100は10より大きく、1000より小さいので、
①は正しい文であり、②は正しくない文だといえます。

一方、③はどうかというと、
これは、う～～ん、正しいとも正しくないともつかないですねえ。
さっき言ったように、100は10より大きいし、100は1000より小さいです。
また、100が大きい数かどうかというのは人により判断が分かれると思います。

数学では、数学的に書かれた文が正しいかどうかを考えながら話を進めるため、
①や②のように、人によって判断が変わらず、正しいか正しくないかがはっきり決まるものを扱います。
このような、正しいか正しくないかがはっきりと判断できる文を、命題、と呼びます。

そして、ある命題が正しいとき、その命題は真であるといい、
そうでない(正しくない)とき、その命題は偽であるといいます。

上の3つの文では、
①は真の命題　　　②は偽の命題で　　　③は命題ではない
ということになりますね。

練習問題
Q1. 次の文のうち、命題はどれか。また、真の命題, 偽の命題はそれぞれどれか。　　　[解答]
　(1) $1+2=3$である。
　(2) $\sqrt{10}=10$である。
　(3) $9$は面白い性質をもった数である。
　(4) 実数$x,y$について、$x>0$かつ$y>0$ならば$xy>0$である。
　(5) 実数$x,y$について、$xy>0$ならば$x>0$かつ$y>0$である。

次は「条件」です。

実数$x,y$について、式$x+y=10$は、「$x+y$が10に等しい」と解釈すれば確かに文になりますが、
これだけでは正しいかどうかの判定をすることができません。

しかし、$x,y$に具体的な値として、例えば$x=3, y=7$を代入すると、
この式は$3+7=10$となり、正しくなります。

一方、もし仮に$x=4, y=7$を代入すると、
この式は$4+7=10$となり、これは正しくありません。

このように、実数$x,y$についての式$x+y=10$は、
$x,y$に具体的にある実数の値を代入することで
初めて正しいかどうかが判定できるようになります。
そのような文のことを、実数$x,y$の条件といいます。

実数$x,y$の条件$x+y=10$では、$x=3, y=7$を代入すると、正しくなりました。
このとき、
「$x=3, y=7$は、(実数$x,y$の条件)$x+y=10$を満たす(成り立たせる、満足する)」
ということがあります。

条件を満たす値は1つとは限りませんし、逆に1つもないこともあります。

例えば、上の実数$x,y$の条件$x+y=10$を満たす$x,y$は無限に存在します。

一方、実数の2乗は必ず0か正の数になるので、
実数$a$の条件$a^2<0$を満たす$a$は存在しません。

練習問題
Q2. 条件$x^2-3x+2=0$を満たす実数$x$をすべて求めよ。　　　[解答] 

さて、条件は、ふつう小文字のアルファベット$p,q,r,\cdots$やギリシャ文字$\phi, \psi$を使います。
($\phi$(空集合の記号$\emptyset$とは違う)は「ファイ」　$\psi$は「プサイ」と読む)
例えば、$p$が条件$x+y=10$を表すことを、

$p : x+y=10$

と書いたりします。
とくに$x,y$についての条件であることを表すのに、$p(x,y)$という記号を使うことがあります。

複数の条件からいろいろな条件を作ることができます。

前回出てきたのは、条件$p,q$に対して、
$p$でない　($\overline{p}$)　　　$p$または$q$　　　$p$かつ$q$
の3つが出てきました。
これらは、1つまたは複数の条件から新たな条件を作っているわけですね。

一方、次回もしくはその次で登場する、
$p$ならば$q$　　　すべての$x$について$p(x)$　　　ある$x$について$p(x)$
の3つは、1つまたは複数の条件から命題を作り出すことができます。

次回はそこら辺のことについて解説します。

今回もお読みいただきありがとうございました!
ではまた!


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練習問題の答え

Q1.

命題であるのは(1),(2),(4),(5)
真の命題は(1),(4)
偽の命題は(2),(5)
((5)については、例えば$x=-2, y=-3$のとき、$xy=6>0$だが$x<0, y<0$である。)

Q2.

方程式$x^2-3x+2=0$を解くと、$(x-1)(x-2)=0$より$\bold{x=1,2}$